Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104881 / 97613
↖ ↑ ↗
← S 65.745298°
E108.064270°		 ← 125.44 m → S 65.745298°
E108.067016°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
S 65.746426°
E108.064270°		 ← 125.44 m →
15 736 m²		 S 65.746426°
E108.067016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800182342529297 y=0.744731903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800182342529297 × 217)
    floor (0.800182342529297 × 131072)
    floor (104881.5)     		tx = 104881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744731903076172 × 217)
    floor (0.744731903076172 × 131072)
    floor (97613.5)     		ty = 97613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104881 / 97613 ti = "17/104881/97613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104881/97613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104881 ÷ 217
    104881 ÷ 131072     		x = 0.800178527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97613 ÷ 217
    97613 ÷ 131072     		y = 0.744728088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800178527832031 × 2 - 1) × π
    0.600357055664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.88607732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744728088378906 × 2 - 1) × π
    -0.489456176757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53767192911254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88607732} λ = 1.88607732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53767192911254))-π/2
    2×atan(0.214880777242708)-π/2
    2×0.211662202049349-π/2
    0.423324404098697-1.57079632675     		φ = -1.14747192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88607732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.064270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14747192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.745298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104881 KachelY 97613 1.88607732 -1.14747192 108.064270 -65.745298
    Oben rechts KachelX + 1 104882 KachelY 97613 1.88612525 -1.14747192 108.067016 -65.745298
    Unten links KachelX 104881 KachelY + 1 97614 1.88607732 -1.14749161 108.064270 -65.746426
    Unten rechts KachelX + 1 104882 KachelY + 1 97614 1.88612525 -1.14749161 108.067016 -65.746426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14747192--1.14749161) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14747192--1.14749161) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88607732-1.88612525) × cos(-1.14747192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410793673328845 × 6371000     		do = 125.44078999893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88607732-1.88612525) × cos(-1.14749161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410775721318287 × 6371000     		du = 125.435308136543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14747192)-sin(-1.14749161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410793673328845-0.410775721318287)×R²
    abs(1.88612525-1.88607732)×1.79520105585418e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79520105585418e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79520105585418e-05×40589641000000     		ar = 15735.5748114049m²