Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10486 / 2479
↖ ↑ ↗
← N 77.239928°
E 50.405273°		 ← 539.64 m → N 77.239928°
E 50.427246°		 →
↑
539.75 m
↓
↑
539.75 m
↓
N 77.235073°
E 50.405273°		 ← 539.85 m →
291 328 m²		 N 77.235073°
E 50.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640045166015625 y=0.151336669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640045166015625 × 214)
    floor (0.640045166015625 × 16384)
    floor (10486.5)     		tx = 10486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151336669921875 × 214)
    floor (0.151336669921875 × 16384)
    floor (2479.5)     		ty = 2479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10486 / 2479 ti = "14/10486/2479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10486/2479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10486 ÷ 214
    10486 ÷ 16384     		x = 0.6400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2479 ÷ 214
    2479 ÷ 16384     		y = 0.15130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6400146484375 × 2 - 1) × π
    0.280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87973798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15130615234375 × 2 - 1) × π
    0.6973876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19090806023505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87973798} λ = 0.87973798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19090806023505))-π/2
    2×atan(8.94333051140467)-π/2
    2×1.45944368904078-π/2
    2.91888737808157-1.57079632675     		φ = 1.34809105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87973798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.405273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34809105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.239928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10486 KachelY 2479 0.87973798 1.34809105 50.405273 77.239928
    Oben rechts KachelX + 1 10487 KachelY 2479 0.88012148 1.34809105 50.427246 77.239928
    Unten links KachelX 10486 KachelY + 1 2480 0.87973798 1.34800633 50.405273 77.235073
    Unten rechts KachelX + 1 10487 KachelY + 1 2480 0.88012148 1.34800633 50.427246 77.235073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34809105-1.34800633) × R
    8.47200000000381e-05 × 6371000     		dl = 539.751120000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34809105-1.34800633) × R
    8.47200000000381e-05 × 6371000     		dr = 539.751120000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87973798-0.88012148) × cos(1.34809105) × R
    0.000383499999999981 × 0.220868894025784 × 6371000     		do = 539.644220091951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87973798-0.88012148) × cos(1.34800633) × R
    0.000383499999999981 × 0.220951520946196 × 6371000     		du = 539.846100670114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34809105)-sin(1.34800633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220868894025784-0.220951520946196)×R²
    abs(0.88012148-0.87973798)×8.26269204118324e-05×R²
    0.000383499999999981×8.26269204118324e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.26269204118324e-05×40589641000000     		ar = 291328.05500476m²