Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104842 / 97466
↖ ↑ ↗
← S 65.578908°
E107.957154°		 ← 126.25 m → S 65.578908°
E107.959900°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
S 65.580043°
E107.957154°		 ← 126.24 m →
15 941 m²		 S 65.580043°
E107.959900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799884796142578 y=0.743610382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799884796142578 × 217)
    floor (0.799884796142578 × 131072)
    floor (104842.5)     		tx = 104842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743610382080078 × 217)
    floor (0.743610382080078 × 131072)
    floor (97466.5)     		ty = 97466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104842 / 97466 ti = "17/104842/97466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104842/97466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104842 ÷ 217
    104842 ÷ 131072     		x = 0.799880981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97466 ÷ 217
    97466 ÷ 131072     		y = 0.743606567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799880981445312 × 2 - 1) × π
    0.599761962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.88420778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743606567382812 × 2 - 1) × π
    -0.487213134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53062520486839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88420778} λ = 1.88420778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53062520486839))-π/2
    2×atan(0.216400330473655)-π/2
    2×0.213114234318057-π/2
    0.426228468636114-1.57079632675     		φ = -1.14456786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88420778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.957154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14456786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.578908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104842 KachelY 97466 1.88420778 -1.14456786 107.957154 -65.578908
    Oben rechts KachelX + 1 104843 KachelY 97466 1.88425571 -1.14456786 107.959900 -65.578908
    Unten links KachelX 104842 KachelY + 1 97467 1.88420778 -1.14458768 107.957154 -65.580043
    Unten rechts KachelX + 1 104843 KachelY + 1 97467 1.88425571 -1.14458768 107.959900 -65.580043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14456786--1.14458768) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dl = 126.273220000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14456786--1.14458768) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dr = 126.273220000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88420778-1.88425571) × cos(-1.14456786) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.413439651171296 × 6371000     		do = 126.248771163651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88420778-1.88425571) × cos(-1.14458768) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.4134216043553 × 6371000     		du = 126.243260351284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14456786)-sin(-1.14458768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413439651171296-0.4134216043553)×R²
    abs(1.88425571-1.88420778)×1.80468159960978e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.80468159960978e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.80468159960978e-05×40589641000000     		ar = 15941.4909225306m²