Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104839 / 97764
↖ ↑ ↗
← S 65.915107°
E107.948914°		 ← 124.62 m → S 65.915107°
E107.951660°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
S 65.916228°
E107.948914°		 ← 124.61 m →
15 529 m²		 S 65.916228°
E107.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799861907958984 y=0.745883941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799861907958984 × 217)
    floor (0.799861907958984 × 131072)
    floor (104839.5)     		tx = 104839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745883941650391 × 217)
    floor (0.745883941650391 × 131072)
    floor (97764.5)     		ty = 97764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104839 / 97764 ti = "17/104839/97764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104839/97764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104839 ÷ 217
    104839 ÷ 131072     		x = 0.799858093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97764 ÷ 217
    97764 ÷ 131072     		y = 0.745880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799858093261719 × 2 - 1) × π
    0.599716186523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.88406397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.49176025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54491040095517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88406397} λ = 1.88406397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54491040095517))-π/2
    2×atan(0.213330984619086)-π/2
    2×0.210180340186405-π/2
    0.420360680372809-1.57079632675     		φ = -1.15043565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88406397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.948914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15043565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.915107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104839 KachelY 97764 1.88406397 -1.15043565 107.948914 -65.915107
    Oben rechts KachelX + 1 104840 KachelY 97764 1.88411190 -1.15043565 107.951660 -65.915107
    Unten links KachelX 104839 KachelY + 1 97765 1.88406397 -1.15045521 107.948914 -65.916228
    Unten rechts KachelX + 1 104840 KachelY + 1 97765 1.88411190 -1.15045521 107.951660 -65.916228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15043565--1.15045521) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dl = 124.616760000896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15043565--1.15045521) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dr = 124.616760000896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88406397-1.88411190) × cos(-1.15043565) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408089756522558 × 6371000     		do = 124.61511647401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88406397-1.88411190) × cos(-1.15045521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408071899302665 × 6371000     		du = 124.609663557094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15043565)-sin(-1.15045521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408089756522558-0.408071899302665)×R²
    abs(1.88411190-1.88406397)×1.785721989217e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.785721989217e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.785721989217e-05×40589641000000     		ar = 15528.7923002014m²