Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104823 / 97741
↖ ↑ ↗
← S 65.889315°
E107.904969°		 ← 124.74 m → S 65.889315°
E107.907715°		 →
↑
124.74 m
↓
↑
124.74 m
↓
S 65.890436°
E107.904969°		 ← 124.74 m →
15 560 m²		 S 65.890436°
E107.907715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799739837646484 y=0.745708465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799739837646484 × 217)
    floor (0.799739837646484 × 131072)
    floor (104823.5)     		tx = 104823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745708465576172 × 217)
    floor (0.745708465576172 × 131072)
    floor (97741.5)     		ty = 97741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104823 / 97741 ti = "17/104823/97741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104823/97741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104823 ÷ 217
    104823 ÷ 131072     		x = 0.799736022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97741 ÷ 217
    97741 ÷ 131072     		y = 0.745704650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799736022949219 × 2 - 1) × π
    0.599472045898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.88329698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745704650878906 × 2 - 1) × π
    -0.491409301757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54380785226391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88329698} λ = 1.88329698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54380785226391))-π/2
    2×atan(0.213566322128675)-π/2
    2×0.210405422855011-π/2
    0.420810845710022-1.57079632675     		φ = -1.14998548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88329698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.904969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14998548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.889315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104823 KachelY 97741 1.88329698 -1.14998548 107.904969 -65.889315
    Oben rechts KachelX + 1 104824 KachelY 97741 1.88334491 -1.14998548 107.907715 -65.889315
    Unten links KachelX 104823 KachelY + 1 97742 1.88329698 -1.15000506 107.904969 -65.890436
    Unten rechts KachelX + 1 104824 KachelY + 1 97742 1.88334491 -1.15000506 107.907715 -65.890436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14998548--1.15000506) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dl = 124.744180000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14998548--1.15000506) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dr = 124.744180000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88329698-1.88334491) × cos(-1.14998548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408500694173509 × 6371000     		do = 124.740601229308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88329698-1.88334491) × cos(-1.15000506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40848282229339 × 6371000     		du = 124.735143835715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14998548)-sin(-1.15000506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408500694173509-0.40848282229339)×R²
    abs(1.88334491-1.88329698)×1.78718801184252e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78718801184252e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78718801184252e-05×40589641000000     		ar = 15560.323624396m²