Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104820 / 97468
↖ ↑ ↗
← S 65.581178°
E107.896728°		 ← 126.26 m → S 65.581178°
E107.899475°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
S 65.582314°
E107.896728°		 ← 126.26 m →
15 943 m²		 S 65.582314°
E107.899475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799716949462891 y=0.743625640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799716949462891 × 217)
    floor (0.799716949462891 × 131072)
    floor (104820.5)     		tx = 104820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743625640869141 × 217)
    floor (0.743625640869141 × 131072)
    floor (97468.5)     		ty = 97468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104820 / 97468 ti = "17/104820/97468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104820/97468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104820 ÷ 217
    104820 ÷ 131072     		x = 0.799713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97468 ÷ 217
    97468 ÷ 131072     		y = 0.743621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799713134765625 × 2 - 1) × π
    0.59942626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88315316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.48724365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53072107866763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88315316} λ = 1.88315316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53072107866763))-π/2
    2×atan(0.216379584346337)-π/2
    2×0.213094416167961-π/2
    0.426188832335922-1.57079632675     		φ = -1.14460749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88315316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.896728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14460749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.581178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104820 KachelY 97468 1.88315316 -1.14460749 107.896728 -65.581178
    Oben rechts KachelX + 1 104821 KachelY 97468 1.88320110 -1.14460749 107.899475 -65.581178
    Unten links KachelX 104820 KachelY + 1 97469 1.88315316 -1.14462731 107.896728 -65.582314
    Unten rechts KachelX + 1 104821 KachelY + 1 97469 1.88320110 -1.14462731 107.899475 -65.582314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14460749--1.14462731) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dl = 126.273219999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14460749--1.14462731) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dr = 126.273219999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88315316-1.88320110) × cos(-1.14460749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413403566482378 × 6371000     		do = 126.264090211437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88315316-1.88320110) × cos(-1.14462731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41338551934166 × 6371000     		du = 126.258578150128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14460749)-sin(-1.14462731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413403566482378-0.41338551934166)×R²
    abs(1.88320110-1.88315316)×1.80471407176253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80471407176253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80471407176253e-05×40589641000000     		ar = 15943.4252288852m²