Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10482 / 2641
↖ ↑ ↗
← N 76.429449°
E 50.317383°		 ← 573.30 m → N 76.429449°
E 50.339356°		 →
↑
573.39 m
↓
↑
573.39 m
↓
N 76.424292°
E 50.317383°		 ← 573.51 m →
328 784 m²		 N 76.424292°
E 50.339356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639801025390625 y=0.161224365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639801025390625 × 214)
    floor (0.639801025390625 × 16384)
    floor (10482.5)     		tx = 10482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161224365234375 × 214)
    floor (0.161224365234375 × 16384)
    floor (2641.5)     		ty = 2641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10482 / 2641 ti = "14/10482/2641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10482/2641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10482 ÷ 214
    10482 ÷ 16384     		x = 0.6397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2641 ÷ 214
    2641 ÷ 16384     		y = 0.16119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6397705078125 × 2 - 1) × π
    0.279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87820400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16119384765625 × 2 - 1) × π
    0.6776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12878183832745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87820400} λ = 0.87820400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12878183832745))-π/2
    2×atan(8.40462238416201)-π/2
    2×1.45237092713142-π/2
    2.90474185426284-1.57079632675     		φ = 1.33394553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87820400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33394553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.429449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10482 KachelY 2641 0.87820400 1.33394553 50.317383 76.429449
    Oben rechts KachelX + 1 10483 KachelY 2641 0.87858750 1.33394553 50.339356 76.429449
    Unten links KachelX 10482 KachelY + 1 2642 0.87820400 1.33385553 50.317383 76.424292
    Unten rechts KachelX + 1 10483 KachelY + 1 2642 0.87858750 1.33385553 50.339356 76.424292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33394553-1.33385553) × R
    9.00000000001455e-05 × 6371000     		dl = 573.390000000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33394553-1.33385553) × R
    9.00000000001455e-05 × 6371000     		dr = 573.390000000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87820400-0.87858750) × cos(1.33394553) × R
    0.000383499999999981 × 0.234642512115008 × 6371000     		do = 573.29700503656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87820400-0.87858750) × cos(1.33385553) × R
    0.000383499999999981 × 0.234729998520367 × 6371000     		du = 573.510758689815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33394553)-sin(1.33385553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234642512115008-0.234729998520367)×R²
    abs(0.87858750-0.87820400)×8.74864053589386e-05×R²
    0.000383499999999981×8.74864053589386e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.74864053589386e-05×40589641000000     		ar = 328784.052045181m²