Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104819 / 97452
↖ ↑ ↗
← S 65.563005°
E107.893982°		 ← 126.33 m → S 65.563005°
E107.896728°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.564141°
E107.893982°		 ← 126.32 m →
15 959 m²		 S 65.564141°
E107.896728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799709320068359 y=0.743503570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799709320068359 × 217)
    floor (0.799709320068359 × 131072)
    floor (104819.5)     		tx = 104819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743503570556641 × 217)
    floor (0.743503570556641 × 131072)
    floor (97452.5)     		ty = 97452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104819 / 97452 ti = "17/104819/97452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104819/97452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104819 ÷ 217
    104819 ÷ 131072     		x = 0.799705505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97452 ÷ 217
    97452 ÷ 131072     		y = 0.743499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799705505371094 × 2 - 1) × π
    0.599411010742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.88310523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.48699951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52995408827371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88310523} λ = 1.88310523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52995408827371))-π/2
    2×atan(0.216545609070516)-π/2
    2×0.213253009818888-π/2
    0.426506019637777-1.57079632675     		φ = -1.14429031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88310523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.893982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14429031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.563005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104819 KachelY 97452 1.88310523 -1.14429031 107.893982 -65.563005
    Oben rechts KachelX + 1 104820 KachelY 97452 1.88315316 -1.14429031 107.896728 -65.563005
    Unten links KachelX 104819 KachelY + 1 97453 1.88310523 -1.14431014 107.893982 -65.564141
    Unten rechts KachelX + 1 104820 KachelY + 1 97453 1.88315316 -1.14431014 107.896728 -65.564141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14429031--1.14431014) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14429031--1.14431014) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88310523-1.88315316) × cos(-1.14429031) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413692353267875 × 6371000     		do = 126.325936789433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88310523-1.88315316) × cos(-1.14431014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413674299622624 × 6371000     		du = 126.32042389167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14429031)-sin(-1.14431014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413692353267875-0.413674299622624)×R²
    abs(1.88315316-1.88310523)×1.80536452514812e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80536452514812e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80536452514812e-05×40589641000000     		ar = 15959.2827925612m²