Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104815 / 97447
↖ ↑ ↗
← S 65.557323°
E107.882996°		 ← 126.38 m → S 65.557323°
E107.885742°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
S 65.558460°
E107.882996°		 ← 126.37 m →
15 974 m²		 S 65.558460°
E107.885742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799678802490234 y=0.743465423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799678802490234 × 217)
    floor (0.799678802490234 × 131072)
    floor (104815.5)     		tx = 104815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743465423583984 × 217)
    floor (0.743465423583984 × 131072)
    floor (97447.5)     		ty = 97447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104815 / 97447 ti = "17/104815/97447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104815/97447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104815 ÷ 217
    104815 ÷ 131072     		x = 0.799674987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97447 ÷ 217
    97447 ÷ 131072     		y = 0.743461608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799674987792969 × 2 - 1) × π
    0.599349975585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.88291348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743461608886719 × 2 - 1) × π
    -0.486923217773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.52971440377561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88291348} λ = 1.88291348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52971440377561))-π/2
    2×atan(0.216597517916767)-π/2
    2×0.213302593050799-π/2
    0.426605186101597-1.57079632675     		φ = -1.14419114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88291348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.882996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14419114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.557323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104815 KachelY 97447 1.88291348 -1.14419114 107.882996 -65.557323
    Oben rechts KachelX + 1 104816 KachelY 97447 1.88296142 -1.14419114 107.885742 -65.557323
    Unten links KachelX 104815 KachelY + 1 97448 1.88291348 -1.14421098 107.882996 -65.558460
    Unten rechts KachelX + 1 104816 KachelY + 1 97448 1.88296142 -1.14421098 107.885742 -65.558460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14419114--1.14421098) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14419114--1.14421098) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88291348-1.88296142) × cos(-1.14419114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413782637261368 × 6371000     		do = 126.379868184622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88291348-1.88296142) × cos(-1.14421098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413764575325891 × 6371000     		du = 126.374351604613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14419114)-sin(-1.14421098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413782637261368-0.413764575325891)×R²
    abs(1.88296142-1.88291348)×1.80619354765432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80619354765432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80619354765432e-05×40589641000000     		ar = 15974.1475727059m²