Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104812 / 97459
↖ ↑ ↗
← S 65.570957°
E107.874756°		 ← 126.31 m → S 65.570957°
E107.877503°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.572094°
E107.874756°		 ← 126.31 m →
15 958 m²		 S 65.572094°
E107.877503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799655914306641 y=0.743556976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799655914306641 × 217)
    floor (0.799655914306641 × 131072)
    floor (104812.5)     		tx = 104812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743556976318359 × 217)
    floor (0.743556976318359 × 131072)
    floor (97459.5)     		ty = 97459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104812 / 97459 ti = "17/104812/97459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104812/97459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104812 ÷ 217
    104812 ÷ 131072     		x = 0.799652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97459 ÷ 217
    97459 ÷ 131072     		y = 0.743553161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799652099609375 × 2 - 1) × π
    0.59930419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.88276967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743553161621094 × 2 - 1) × π
    -0.487106323242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.53028964657105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88276967} λ = 1.88276967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53028964657105))-π/2
    2×atan(0.216472957584726)-π/2
    2×0.213183611468899-π/2
    0.426367222937798-1.57079632675     		φ = -1.14442910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88276967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.874756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14442910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.570957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104812 KachelY 97459 1.88276967 -1.14442910 107.874756 -65.570957
    Oben rechts KachelX + 1 104813 KachelY 97459 1.88281761 -1.14442910 107.877503 -65.570957
    Unten links KachelX 104812 KachelY + 1 97460 1.88276967 -1.14444893 107.874756 -65.572094
    Unten rechts KachelX + 1 104813 KachelY + 1 97460 1.88281761 -1.14444893 107.877503 -65.572094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14442910--1.14444893) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14442910--1.14444893) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88276967-1.88281761) × cos(-1.14442910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413565992544804 × 6371000     		do = 126.313699311748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88276967-1.88281761) × cos(-1.14444893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413547937761185 × 6371000     		du = 126.308184916101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14442910)-sin(-1.14444893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413565992544804-0.413547937761185)×R²
    abs(1.88281761-1.88276967)×1.80547836192146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80547836192146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80547836192146e-05×40589641000000     		ar = 15957.7366526501m²