Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10481 / 2606
↖ ↑ ↗
← N 76.608726°
E 50.295410°		 ← 565.85 m → N 76.608726°
E 50.317383°		 →
↑
565.94 m
↓
↑
565.94 m
↓
N 76.603637°
E 50.295410°		 ← 566.06 m →
320 293 m²		 N 76.603637°
E 50.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639739990234375 y=0.159088134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639739990234375 × 214)
    floor (0.639739990234375 × 16384)
    floor (10481.5)     		tx = 10481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159088134765625 × 214)
    floor (0.159088134765625 × 16384)
    floor (2606.5)     		ty = 2606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10481 / 2606 ti = "14/10481/2606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10481/2606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10481 ÷ 214
    10481 ÷ 16384     		x = 0.63970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2606 ÷ 214
    2606 ÷ 16384     		y = 0.1590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63970947265625 × 2 - 1) × π
    0.2794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87782051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1590576171875 × 2 - 1) × π
    0.681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14220417022107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87782051} λ = 0.87782051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14220417022107))-π/2
    2×atan(8.51819249807246)-π/2
    2×1.45393542076567-π/2
    2.90787084153134-1.57079632675     		φ = 1.33707451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87782051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33707451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.608726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10481 KachelY 2606 0.87782051 1.33707451 50.295410 76.608726
    Oben rechts KachelX + 1 10482 KachelY 2606 0.87820400 1.33707451 50.317383 76.608726
    Unten links KachelX 10481 KachelY + 1 2607 0.87782051 1.33698568 50.295410 76.603637
    Unten rechts KachelX + 1 10482 KachelY + 1 2607 0.87820400 1.33698568 50.317383 76.603637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33707451-1.33698568) × R
    8.88300000001507e-05 × 6371000     		dl = 565.93593000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33707451-1.33698568) × R
    8.88300000001507e-05 × 6371000     		dr = 565.93593000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87782051-0.87820400) × cos(1.33707451) × R
    0.000383489999999931 × 0.23159974414922 × 6371000     		do = 565.847920265488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87782051-0.87820400) × cos(1.33698568) × R
    0.000383489999999931 × 0.23168615805095 × 6371000     		du = 566.059047988256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33707451)-sin(1.33698568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23159974414922-0.23168615805095)×R²
    abs(0.87820400-0.87782051)×8.64139017298926e-05×R²
    0.000383489999999931×8.64139017298926e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.64139017298926e-05×40589641000000     		ar = 320293.411588643m²