Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10481 / 2451
↖ ↑ ↗
← N 77.375104°
E 50.295410°		 ← 534.01 m → N 77.375104°
E 50.317383°		 →
↑
534.08 m
↓
↑
534.08 m
↓
N 77.370301°
E 50.295410°		 ← 534.21 m →
285 256 m²		 N 77.370301°
E 50.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639739990234375 y=0.149627685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639739990234375 × 214)
    floor (0.639739990234375 × 16384)
    floor (10481.5)     		tx = 10481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149627685546875 × 214)
    floor (0.149627685546875 × 16384)
    floor (2451.5)     		ty = 2451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10481 / 2451 ti = "14/10481/2451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10481/2451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10481 ÷ 214
    10481 ÷ 16384     		x = 0.63970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2451 ÷ 214
    2451 ÷ 16384     		y = 0.14959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63970947265625 × 2 - 1) × π
    0.2794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87782051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14959716796875 × 2 - 1) × π
    0.7008056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20164592574994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87782051} λ = 0.87782051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20164592574994))-π/2
    2×atan(9.0398802329599)-π/2
    2×1.46062333038776-π/2
    2.92124666077552-1.57079632675     		φ = 1.35045033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87782051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35045033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.375104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10481 KachelY 2451 0.87782051 1.35045033 50.295410 77.375104
    Oben rechts KachelX + 1 10482 KachelY 2451 0.87820400 1.35045033 50.317383 77.375104
    Unten links KachelX 10481 KachelY + 1 2452 0.87782051 1.35036650 50.295410 77.370301
    Unten rechts KachelX + 1 10482 KachelY + 1 2452 0.87820400 1.35036650 50.317383 77.370301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35045033-1.35036650) × R
    8.38299999998959e-05 × 6371000     		dl = 534.080929999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35045033-1.35036650) × R
    8.38299999998959e-05 × 6371000     		dr = 534.080929999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87782051-0.87820400) × cos(1.35045033) × R
    0.000383489999999931 × 0.218567267401202 × 6371000     		do = 534.006780324405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87782051-0.87820400) × cos(1.35036650) × R
    0.000383489999999931 × 0.218649069781668 × 6371000     		du = 534.206641110218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35045033)-sin(1.35036650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218567267401202-0.218649069781668)×R²
    abs(0.87820400-0.87782051)×8.18023804665391e-05×R²
    0.000383489999999931×8.18023804665391e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.18023804665391e-05×40589641000000     		ar = 285256.208945758m²