Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1048 / 954
↖ ↑ ↗
← N 79.734280°
W133.945312°		 ← 870.84 m → N 79.734280°
W133.901367°		 →
↑
871.17 m
↓
↑
871.17 m
↓
N 79.726446°
W133.945312°		 ← 871.50 m →
758 936 m²		 N 79.726446°
W133.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12799072265625 y=0.11651611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12799072265625 × 213)
    floor (0.12799072265625 × 8192)
    floor (1048.5)     		tx = 1048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11651611328125 × 213)
    floor (0.11651611328125 × 8192)
    floor (954.5)     		ty = 954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1048 / 954 ti = "13/1048/954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1048/954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1048 ÷ 213
    1048 ÷ 8192     		x = 0.1279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 954 ÷ 213
    954 ÷ 8192     		y = 0.116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1279296875 × 2 - 1) × π
    -0.744140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33778672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116455078125 × 2 - 1) × π
    0.76708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40988381769946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33778672} λ = -2.33778672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40988381769946))-π/2
    2×atan(11.1326676509874)-π/2
    2×1.48121102492282-π/2
    2.96242204984564-1.57079632675     		φ = 1.39162572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33778672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39162572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.734280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1048 KachelY 954 -2.33778672 1.39162572 -133.945312 79.734280
    Oben rechts KachelX + 1 1049 KachelY 954 -2.33701973 1.39162572 -133.901367 79.734280
    Unten links KachelX 1048 KachelY + 1 955 -2.33778672 1.39148898 -133.945312 79.726446
    Unten rechts KachelX + 1 1049 KachelY + 1 955 -2.33701973 1.39148898 -133.901367 79.726446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39162572-1.39148898) × R
    0.000136739999999858 × 6371000     		dl = 871.170539999092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39162572-1.39148898) × R
    0.000136739999999858 × 6371000     		dr = 871.170539999092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33778672--2.33701973) × cos(1.39162572) × R
    0.000766989999999801 × 0.178213518669095 × 6371000     		do = 870.839163163597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33778672--2.33701973) × cos(1.39148898) × R
    0.000766989999999801 × 0.178348068046814 × 6371000     		du = 871.496637794996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39162572)-sin(1.39148898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178213518669095-0.178348068046814)×R²
    abs(-2.33701973--2.33778672)×0.000134549377719423×R²
    0.000766989999999801×0.000134549377719423×6371000²
    0.000766989999999801×0.000134549377719423×40589641000000     		ar = 758935.811473924m²