Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104771 / 97730
↖ ↑ ↗
← S 65.876970°
E107.762146°		 ← 124.80 m → S 65.876970°
E107.764892°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
S 65.878093°
E107.762146°		 ← 124.80 m →
15 584 m²		 S 65.878093°
E107.764892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799343109130859 y=0.745624542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799343109130859 × 217)
    floor (0.799343109130859 × 131072)
    floor (104771.5)     		tx = 104771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745624542236328 × 217)
    floor (0.745624542236328 × 131072)
    floor (97730.5)     		ty = 97730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104771 / 97730 ti = "17/104771/97730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104771/97730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104771 ÷ 217
    104771 ÷ 131072     		x = 0.799339294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97730 ÷ 217
    97730 ÷ 131072     		y = 0.745620727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799339294433594 × 2 - 1) × π
    0.598678588867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.88080426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745620727539062 × 2 - 1) × π
    -0.491241455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54328054636809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88080426} λ = 1.88080426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54328054636809))-π/2
    2×atan(0.21367896660592)-π/2
    2×0.210513151189047-π/2
    0.421026302378095-1.57079632675     		φ = -1.14977002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88080426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.762146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14977002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.876970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104771 KachelY 97730 1.88080426 -1.14977002 107.762146 -65.876970
    Oben rechts KachelX + 1 104772 KachelY 97730 1.88085219 -1.14977002 107.764892 -65.876970
    Unten links KachelX 104771 KachelY + 1 97731 1.88080426 -1.14978962 107.762146 -65.878093
    Unten rechts KachelX + 1 104772 KachelY + 1 97731 1.88085219 -1.14978962 107.764892 -65.878093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14977002--1.14978962) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14977002--1.14978962) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88080426-1.88085219) × cos(-1.14977002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408697347530674 × 6371000     		do = 124.800651697659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88080426-1.88085219) × cos(-1.14978962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408679459120718 × 6371000     		du = 124.795189256481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14977002)-sin(-1.14978962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408697347530674-0.408679459120718)×R²
    abs(1.88085219-1.88080426)×1.78884099560905e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78884099560905e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78884099560905e-05×40589641000000     		ar = 15583.7160072088m²