Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10477 / 2608
↖ ↑ ↗
← N 76.598545°
E 50.207520°		 ← 566.27 m → N 76.598545°
E 50.229492°		 →
↑
566.38 m
↓
↑
566.38 m
↓
N 76.593451°
E 50.207520°		 ← 566.48 m →
320 785 m²		 N 76.593451°
E 50.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639495849609375 y=0.159210205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639495849609375 × 214)
    floor (0.639495849609375 × 16384)
    floor (10477.5)     		tx = 10477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159210205078125 × 214)
    floor (0.159210205078125 × 16384)
    floor (2608.5)     		ty = 2608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10477 / 2608 ti = "14/10477/2608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10477/2608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10477 ÷ 214
    10477 ÷ 16384     		x = 0.63946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2608 ÷ 214
    2608 ÷ 16384     		y = 0.1591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63946533203125 × 2 - 1) × π
    0.2789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87628653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    0.681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14143717982715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87628653} λ = 0.87628653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14143717982715))-π/2
    2×atan(8.51166163112914)-π/2
    2×1.4538465702352-π/2
    2.9076931404704-1.57079632675     		φ = 1.33689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87628653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.207520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.598545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10477 KachelY 2608 0.87628653 1.33689681 50.207520 76.598545
    Oben rechts KachelX + 1 10478 KachelY 2608 0.87667002 1.33689681 50.229492 76.598545
    Unten links KachelX 10477 KachelY + 1 2609 0.87628653 1.33680791 50.207520 76.593451
    Unten rechts KachelX + 1 10478 KachelY + 1 2609 0.87667002 1.33680791 50.229492 76.593451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33689681-1.33680791) × R
    8.88999999999474e-05 × 6371000     		dl = 566.381899999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33689681-1.33680791) × R
    8.88999999999474e-05 × 6371000     		dr = 566.381899999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87628653-0.87667002) × cos(1.33689681) × R
    0.000383490000000042 × 0.231772609035297 × 6371000     		do = 566.270266311988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87628653-0.87667002) × cos(1.33680791) × R
    0.000383490000000042 × 0.231859087371615 × 6371000     		du = 566.481551462294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33689681)-sin(1.33680791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231772609035297-0.231859087371615)×R²
    abs(0.87667002-0.87628653)×8.64783363177246e-05×R²
    0.000383490000000042×8.64783363177246e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.64783363177246e-05×40589641000000     		ar = 320785.063602138m²