Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104750 / 97647
↖ ↑ ↗
← S 65.783631°
E107.704468°		 ← 125.28 m → S 65.783631°
E107.707214°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
S 65.784758°
E107.704468°		 ← 125.28 m →
15 692 m²		 S 65.784758°
E107.707214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799182891845703 y=0.744991302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799182891845703 × 217)
    floor (0.799182891845703 × 131072)
    floor (104750.5)     		tx = 104750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744991302490234 × 217)
    floor (0.744991302490234 × 131072)
    floor (97647.5)     		ty = 97647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104750 / 97647 ti = "17/104750/97647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104750/97647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104750 ÷ 217
    104750 ÷ 131072     		x = 0.799179077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97647 ÷ 217
    97647 ÷ 131072     		y = 0.744987487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799179077148438 × 2 - 1) × π
    0.598358154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87979758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744987487792969 × 2 - 1) × π
    -0.489974975585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.53930178369962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87979758} λ = 1.87979758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53930178369962))-π/2
    2×atan(0.214530838074688)-π/2
    2×0.211327683706036-π/2
    0.422655367412073-1.57079632675     		φ = -1.14814096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87979758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.704468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14814096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.783631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104750 KachelY 97647 1.87979758 -1.14814096 107.704468 -65.783631
    Oben rechts KachelX + 1 104751 KachelY 97647 1.87984552 -1.14814096 107.707214 -65.783631
    Unten links KachelX 104750 KachelY + 1 97648 1.87979758 -1.14816062 107.704468 -65.784758
    Unten rechts KachelX + 1 104751 KachelY + 1 97648 1.87984552 -1.14816062 107.707214 -65.784758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14814096--1.14816062) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14814096--1.14816062) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87979758-1.87984552) × cos(-1.14814096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410183598710092 × 6371000     		do = 125.280629171811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87979758-1.87984552) × cos(-1.14816062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410165668652453 × 6371000     		du = 125.275152870688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14814096)-sin(-1.14816062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410183598710092-0.410165668652453)×R²
    abs(1.87984552-1.87979758)×1.79300576393371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79300576393371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79300576393371e-05×40589641000000     		ar = 15691.5394236071m²