Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104744 / 97634
↖ ↑ ↗
← S 65.768981°
E107.687988°		 ← 125.35 m → S 65.768981°
E107.690735°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
S 65.770108°
E107.687988°		 ← 125.35 m →
15 708 m²		 S 65.770108°
E107.690735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799137115478516 y=0.744892120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799137115478516 × 217)
    floor (0.799137115478516 × 131072)
    floor (104744.5)     		tx = 104744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744892120361328 × 217)
    floor (0.744892120361328 × 131072)
    floor (97634.5)     		ty = 97634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104744 / 97634 ti = "17/104744/97634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104744/97634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104744 ÷ 217
    104744 ÷ 131072     		x = 0.79913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97634 ÷ 217
    97634 ÷ 131072     		y = 0.744888305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79913330078125 × 2 - 1) × π
    0.5982666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87950996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744888305664062 × 2 - 1) × π
    -0.489776611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53867860400456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87950996} λ = 1.87950996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53867860400456))-π/2
    2×atan(0.214664571002435)-π/2
    2×0.211455529076289-π/2
    0.422911058152578-1.57079632675     		φ = -1.14788527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87950996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14788527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.768981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104744 KachelY 97634 1.87950996 -1.14788527 107.687988 -65.768981
    Oben rechts KachelX + 1 104745 KachelY 97634 1.87955790 -1.14788527 107.690735 -65.768981
    Unten links KachelX 104744 KachelY + 1 97635 1.87950996 -1.14790494 107.687988 -65.770108
    Unten rechts KachelX + 1 104745 KachelY + 1 97635 1.87955790 -1.14790494 107.690735 -65.770108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14788527--1.14790494) × R
    1.96700000001382e-05 × 6371000     		dl = 125.31757000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14788527--1.14790494) × R
    1.96700000001382e-05 × 6371000     		dr = 125.31757000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87950996-1.87955790) × cos(-1.14788527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410416775338315 × 6371000     		do = 125.351847316036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87950996-1.87955790) × cos(-1.14790494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410398838224093 × 6371000     		du = 125.346368859652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14788527)-sin(-1.14790494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410416775338315-0.410398838224093)×R²
    abs(1.87955790-1.87950996)×1.79371142219886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79371142219886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79371142219886e-05×40589641000000     		ar = 15708.4456277899m²