Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10474 / 2620
↖ ↑ ↗
← N 76.537296°
E 50.141602°		 ← 568.81 m → N 76.537296°
E 50.163574°		 →
↑
568.93 m
↓
↑
568.93 m
↓
N 76.532180°
E 50.141602°		 ← 569.02 m →
323 674 m²		 N 76.532180°
E 50.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639312744140625 y=0.159942626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639312744140625 × 214)
    floor (0.639312744140625 × 16384)
    floor (10474.5)     		tx = 10474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159942626953125 × 214)
    floor (0.159942626953125 × 16384)
    floor (2620.5)     		ty = 2620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10474 / 2620 ti = "14/10474/2620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10474/2620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10474 ÷ 214
    10474 ÷ 16384     		x = 0.6392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2620 ÷ 214
    2620 ÷ 16384     		y = 0.159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6392822265625 × 2 - 1) × π
    0.278564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87513604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159912109375 × 2 - 1) × π
    0.68017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13683523746362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87513604} λ = 0.87513604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13683523746362))-π/2
    2×atan(8.47258144623365)-π/2
    2×1.45331207276932-π/2
    2.90662414553863-1.57079632675     		φ = 1.33582782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87513604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.141602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33582782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.537296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10474 KachelY 2620 0.87513604 1.33582782 50.141602 76.537296
    Oben rechts KachelX + 1 10475 KachelY 2620 0.87551953 1.33582782 50.163574 76.537296
    Unten links KachelX 10474 KachelY + 1 2621 0.87513604 1.33573852 50.141602 76.532180
    Unten rechts KachelX + 1 10475 KachelY + 1 2621 0.87551953 1.33573852 50.163574 76.532180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33582782-1.33573852) × R
    8.92999999999589e-05 × 6371000     		dl = 568.930299999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33582782-1.33573852) × R
    8.92999999999589e-05 × 6371000     		dr = 568.930299999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87513604-0.87551953) × cos(1.33582782) × R
    0.000383490000000042 × 0.232812357803335 × 6371000     		do = 568.810595879942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87513604-0.87551953) × cos(1.33573852) × R
    0.000383490000000042 × 0.232899203060412 × 6371000     		du = 569.022777496474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33582782)-sin(1.33573852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232812357803335-0.232899203060412)×R²
    abs(0.87551953-0.87513604)×8.68452570769451e-05×R²
    0.000383490000000042×8.68452570769451e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.68452570769451e-05×40589641000000     		ar = 323673.941447247m²