Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10474 / 2619
↖ ↑ ↗
← N 76.542410°
E 50.141602°		 ← 568.60 m → N 76.542410°
E 50.163574°		 →
↑
568.68 m
↓
↑
568.68 m
↓
N 76.537296°
E 50.141602°		 ← 568.81 m →
323 408 m²		 N 76.537296°
E 50.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639312744140625 y=0.159881591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639312744140625 × 214)
    floor (0.639312744140625 × 16384)
    floor (10474.5)     		tx = 10474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159881591796875 × 214)
    floor (0.159881591796875 × 16384)
    floor (2619.5)     		ty = 2619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10474 / 2619 ti = "14/10474/2619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10474/2619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10474 ÷ 214
    10474 ÷ 16384     		x = 0.6392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2619 ÷ 214
    2619 ÷ 16384     		y = 0.15985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6392822265625 × 2 - 1) × π
    0.278564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87513604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15985107421875 × 2 - 1) × π
    0.6802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13721873266058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87513604} λ = 0.87513604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13721873266058))-π/2
    2×atan(8.47583126362899)-π/2
    2×1.4533567056564-π/2
    2.90671341131279-1.57079632675     		φ = 1.33591708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87513604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.141602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33591708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.542410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10474 KachelY 2619 0.87513604 1.33591708 50.141602 76.542410
    Oben rechts KachelX + 1 10475 KachelY 2619 0.87551953 1.33591708 50.163574 76.542410
    Unten links KachelX 10474 KachelY + 1 2620 0.87513604 1.33582782 50.141602 76.537296
    Unten rechts KachelX + 1 10475 KachelY + 1 2620 0.87551953 1.33582782 50.163574 76.537296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33591708-1.33582782) × R
    8.92599999999799e-05 × 6371000     		dl = 568.675459999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33591708-1.33582782) × R
    8.92599999999799e-05 × 6371000     		dr = 568.675459999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87513604-0.87551953) × cos(1.33591708) × R
    0.000383490000000042 × 0.232725549591396 × 6371000     		do = 568.59850477264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87513604-0.87551953) × cos(1.33582782) × R
    0.000383490000000042 × 0.232812357803335 × 6371000     		du = 568.810595879942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33591708)-sin(1.33582782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232725549591396-0.232812357803335)×R²
    abs(0.87551953-0.87513604)×8.68082119385993e-05×R²
    0.000383490000000042×8.68082119385993e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.68082119385993e-05×40589641000000     		ar = 323408.321976849m²