Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104732 / 97629
↖ ↑ ↗
← S 65.763345°
E107.655029°		 ← 125.35 m → S 65.763345°
E107.657776°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.764472°
E107.655029°		 ← 125.35 m →
15 717 m²		 S 65.764472°
E107.657776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799045562744141 y=0.744853973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799045562744141 × 217)
    floor (0.799045562744141 × 131072)
    floor (104732.5)     		tx = 104732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744853973388672 × 217)
    floor (0.744853973388672 × 131072)
    floor (97629.5)     		ty = 97629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104732 / 97629 ti = "17/104732/97629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104732/97629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104732 ÷ 217
    104732 ÷ 131072     		x = 0.799041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97629 ÷ 217
    97629 ÷ 131072     		y = 0.744850158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799041748046875 × 2 - 1) × π
    0.59808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.87893472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744850158691406 × 2 - 1) × π
    -0.489700317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53843891950646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87893472} λ = 1.87893472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53843891950646))-π/2
    2×atan(0.214716028938984)-π/2
    2×0.211504719721313-π/2
    0.423009439442626-1.57079632675     		φ = -1.14778689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87893472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14778689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.763345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104732 KachelY 97629 1.87893472 -1.14778689 107.655029 -65.763345
    Oben rechts KachelX + 1 104733 KachelY 97629 1.87898265 -1.14778689 107.657776 -65.763345
    Unten links KachelX 104732 KachelY + 1 97630 1.87893472 -1.14780657 107.655029 -65.764472
    Unten rechts KachelX + 1 104733 KachelY + 1 97630 1.87898265 -1.14780657 107.657776 -65.764472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14778689--1.14780657) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dl = 125.381280000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14778689--1.14780657) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dr = 125.381280000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87893472-1.87898265) × cos(-1.14778689) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410506485883107 × 6371000     		do = 125.353093857509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87893472-1.87898265) × cos(-1.14780657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410488540444509 × 6371000     		du = 125.347614001949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14778689)-sin(-1.14780657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410506485883107-0.410488540444509)×R²
    abs(1.87898265-1.87893472)×1.79454385983435e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79454385983435e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79454385983435e-05×40589641000000     		ar = 15716.5878246903m²