Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104719 / 97620
↖ ↑ ↗
← S 65.753195°
E107.619324°		 ← 125.40 m → S 65.753195°
E107.622070°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.754323°
E107.619324°		 ← 125.40 m →
15 723 m²		 S 65.754323°
E107.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798946380615234 y=0.744785308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798946380615234 × 217)
    floor (0.798946380615234 × 131072)
    floor (104719.5)     		tx = 104719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744785308837891 × 217)
    floor (0.744785308837891 × 131072)
    floor (97620.5)     		ty = 97620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104719 / 97620 ti = "17/104719/97620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104719/97620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104719 ÷ 217
    104719 ÷ 131072     		x = 0.798942565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97620 ÷ 217
    97620 ÷ 131072     		y = 0.744781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798942565917969 × 2 - 1) × π
    0.597885131835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.87831154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.48956298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53800748740988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87831154} λ = 1.87831154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53800748740988))-π/2
    2×atan(0.214808684311332)-π/2
    2×0.211593289979137-π/2
    0.423186579958274-1.57079632675     		φ = -1.14760975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87831154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.619324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14760975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.753195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104719 KachelY 97620 1.87831154 -1.14760975 107.619324 -65.753195
    Oben rechts KachelX + 1 104720 KachelY 97620 1.87835947 -1.14760975 107.622070 -65.753195
    Unten links KachelX 104719 KachelY + 1 97621 1.87831154 -1.14762943 107.619324 -65.754323
    Unten rechts KachelX + 1 104720 KachelY + 1 97621 1.87835947 -1.14762943 107.622070 -65.754323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14760975--1.14762943) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dl = 125.381280000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14760975--1.14762943) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dr = 125.381280000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87831154-1.87835947) × cos(-1.14760975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.4106680059108 × 6371000     		do = 125.402415941051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87831154-1.87835947) × cos(-1.14762943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410650061903525 × 6371000     		du = 125.396936522563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14760975)-sin(-1.14762943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4106680059108-0.410650061903525)×R²
    abs(1.87835947-1.87831154)×1.79440072751724e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79440072751724e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79440072751724e-05×40589641000000     		ar = 15722.7719181573m²