Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104715 / 97624
↖ ↑ ↗
← S 65.757706°
E107.608337°		 ← 125.41 m → S 65.757706°
E107.611084°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
S 65.758834°
E107.608337°		 ← 125.40 m →
15 731 m²		 S 65.758834°
E107.611084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798915863037109 y=0.744815826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798915863037109 × 217)
    floor (0.798915863037109 × 131072)
    floor (104715.5)     		tx = 104715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744815826416016 × 217)
    floor (0.744815826416016 × 131072)
    floor (97624.5)     		ty = 97624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104715 / 97624 ti = "17/104715/97624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104715/97624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104715 ÷ 217
    104715 ÷ 131072     		x = 0.798912048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97624 ÷ 217
    97624 ÷ 131072     		y = 0.74481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798912048339844 × 2 - 1) × π
    0.597824096679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.87811979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.4896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53819923500836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87811979} λ = 1.87811979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53819923500836))-π/2
    2×atan(0.214767499210681)-π/2
    2×0.211553921118528-π/2
    0.423107842237056-1.57079632675     		φ = -1.14768848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87811979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.608337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14768848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.757706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104715 KachelY 97624 1.87811979 -1.14768848 107.608337 -65.757706
    Oben rechts KachelX + 1 104716 KachelY 97624 1.87816773 -1.14768848 107.611084 -65.757706
    Unten links KachelX 104715 KachelY + 1 97625 1.87811979 -1.14770817 107.608337 -65.758834
    Unten rechts KachelX + 1 104716 KachelY + 1 97625 1.87816773 -1.14770817 107.611084 -65.758834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14768848--1.14770817) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14768848--1.14770817) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87811979-1.87816773) × cos(-1.14768848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41059621980928 × 6371000     		do = 125.40665427637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87811979-1.87816773) × cos(-1.14770817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410578266047529 × 6371000     		du = 125.401170735401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14768848)-sin(-1.14770817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41059621980928-0.410578266047529)×R²
    abs(1.87816773-1.87811979)×1.79537617508441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79537617508441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79537617508441e-05×40589641000000     		ar = 15731.2925507846m²