Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104703 / 98564
↖ ↑ ↗
← S 66.796239°
E107.575379°		 ← 120.31 m → S 66.796239°
E107.578125°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
S 66.797321°
E107.575379°		 ← 120.31 m →
14 479 m²		 S 66.797321°
E107.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798824310302734 y=0.751987457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798824310302734 × 217)
    floor (0.798824310302734 × 131072)
    floor (104703.5)     		tx = 104703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751987457275391 × 217)
    floor (0.751987457275391 × 131072)
    floor (98564.5)     		ty = 98564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104703 / 98564 ti = "17/104703/98564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104703/98564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104703 ÷ 217
    104703 ÷ 131072     		x = 0.798820495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98564 ÷ 217
    98564 ÷ 131072     		y = 0.751983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798820495605469 × 2 - 1) × π
    0.597640991210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.87754455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.50396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58325992065121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87754455} λ = 1.87754455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58325992065121))-π/2
    2×atan(0.205304728997493)-π/2
    2×0.202491018582328-π/2
    0.404982037164656-1.57079632675     		φ = -1.16581429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87754455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.575379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16581429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.796239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104703 KachelY 98564 1.87754455 -1.16581429 107.575379 -66.796239
    Oben rechts KachelX + 1 104704 KachelY 98564 1.87759248 -1.16581429 107.578125 -66.796239
    Unten links KachelX 104703 KachelY + 1 98565 1.87754455 -1.16583318 107.575379 -66.797321
    Unten rechts KachelX + 1 104704 KachelY + 1 98565 1.87759248 -1.16583318 107.578125 -66.797321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16581429--1.16583318) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16581429--1.16583318) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87754455-1.87759248) × cos(-1.16581429) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.39400225028234 × 6371000     		do = 120.3133269703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87754455-1.87759248) × cos(-1.16583318) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.393984888234064 × 6371000     		du = 120.308025259993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16581429)-sin(-1.16583318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39400225028234-0.393984888234064)×R²
    abs(1.87759248-1.87754455)×1.73620482753489e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.73620482753489e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.73620482753489e-05×40589641000000     		ar = 14479.1721084936m²