Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104702 / 98565
↖ ↑ ↗
← S 66.797321°
E107.572632°		 ← 120.33 m → S 66.797321°
E107.575379°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
S 66.798403°
E107.572632°		 ← 120.33 m →
14 474 m²		 S 66.798403°
E107.575379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798816680908203 y=0.751995086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798816680908203 × 217)
    floor (0.798816680908203 × 131072)
    floor (104702.5)     		tx = 104702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751995086669922 × 217)
    floor (0.751995086669922 × 131072)
    floor (98565.5)     		ty = 98565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104702 / 98565 ti = "17/104702/98565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104702/98565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104702 ÷ 217
    104702 ÷ 131072     		x = 0.798812866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98565 ÷ 217
    98565 ÷ 131072     		y = 0.751991271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798812866210938 × 2 - 1) × π
    0.597625732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87749661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751991271972656 × 2 - 1) × π
    -0.503982543945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.58330785755083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87749661} λ = 1.87749661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58330785755083))-π/2
    2×atan(0.205294887561194)-π/2
    2×0.202481575167196-π/2
    0.404963150334391-1.57079632675     		φ = -1.16583318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87749661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.572632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16583318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.797321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104702 KachelY 98565 1.87749661 -1.16583318 107.572632 -66.797321
    Oben rechts KachelX + 1 104703 KachelY 98565 1.87754455 -1.16583318 107.575379 -66.797321
    Unten links KachelX 104702 KachelY + 1 98566 1.87749661 -1.16585206 107.572632 -66.798403
    Unten rechts KachelX + 1 104703 KachelY + 1 98566 1.87754455 -1.16585206 107.575379 -66.798403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16583318--1.16585206) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dl = 120.284480000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16583318--1.16585206) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dr = 120.284480000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87749661-1.87754455) × cos(-1.16583318) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393984888234064 × 6371000     		do = 120.333126038185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87749661-1.87754455) × cos(-1.16585206) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393967535236446 × 6371000     		du = 120.327825986046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16583318)-sin(-1.16585206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393984888234064-0.393967535236446)×R²
    abs(1.87754455-1.87749661)×1.73529976182918e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73529976182918e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73529976182918e-05×40589641000000     		ar = 14473.888735716m²