Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10470 / 2618
↖ ↑ ↗
← N 76.547524°
E 50.053711°		 ← 568.39 m → N 76.547524°
E 50.075683°		 →
↑
568.55 m
↓
↑
568.55 m
↓
N 76.542410°
E 50.053711°		 ← 568.60 m →
323 215 m²		 N 76.542410°
E 50.075683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639068603515625 y=0.159820556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639068603515625 × 214)
    floor (0.639068603515625 × 16384)
    floor (10470.5)     		tx = 10470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159820556640625 × 214)
    floor (0.159820556640625 × 16384)
    floor (2618.5)     		ty = 2618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10470 / 2618 ti = "14/10470/2618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10470/2618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10470 ÷ 214
    10470 ÷ 16384     		x = 0.6390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2618 ÷ 214
    2618 ÷ 16384     		y = 0.1597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6390380859375 × 2 - 1) × π
    0.278076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87360206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1597900390625 × 2 - 1) × π
    0.680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13760222785754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87360206} λ = 0.87360206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13760222785754))-π/2
    2×atan(8.4790823275527)-π/2
    2×1.45340132190006-π/2
    2.90680264380012-1.57079632675     		φ = 1.33600632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87360206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33600632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.547524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10470 KachelY 2618 0.87360206 1.33600632 50.053711 76.547524
    Oben rechts KachelX + 1 10471 KachelY 2618 0.87398555 1.33600632 50.075683 76.547524
    Unten links KachelX 10470 KachelY + 1 2619 0.87360206 1.33591708 50.053711 76.542410
    Unten rechts KachelX + 1 10471 KachelY + 1 2619 0.87398555 1.33591708 50.075683 76.542410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33600632-1.33591708) × R
    8.92400000001015e-05 × 6371000     		dl = 568.548040000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33600632-1.33591708) × R
    8.92400000001015e-05 × 6371000     		dr = 568.548040000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87360206-0.87398555) × cos(1.33600632) × R
    0.000383490000000042 × 0.232638758976517 × 6371000     		do = 568.386456658733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87360206-0.87398555) × cos(1.33591708) × R
    0.000383490000000042 × 0.232725549591396 × 6371000     		du = 568.59850477264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33600632)-sin(1.33591708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232638758976517-0.232725549591396)×R²
    abs(0.87398555-0.87360206)×8.67906148796782e-05×R²
    0.000383490000000042×8.67906148796782e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.67906148796782e-05×40589641000000     		ar = 323215.285880003m²