Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104685 / 97873
↖ ↑ ↗
← S 66.036989°
E107.525940°		 ← 124.05 m → S 66.036989°
E107.528687°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
S 66.038104°
E107.525940°		 ← 124.04 m →
15 379 m²		 S 66.038104°
E107.528687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798686981201172 y=0.746715545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798686981201172 × 217)
    floor (0.798686981201172 × 131072)
    floor (104685.5)     		tx = 104685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746715545654297 × 217)
    floor (0.746715545654297 × 131072)
    floor (97873.5)     		ty = 97873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104685 / 97873 ti = "17/104685/97873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104685/97873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104685 ÷ 217
    104685 ÷ 131072     		x = 0.798683166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97873 ÷ 217
    97873 ÷ 131072     		y = 0.746711730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798683166503906 × 2 - 1) × π
    0.597366333007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.87668168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746711730957031 × 2 - 1) × π
    -0.493423461914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.55013552301376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87668168} λ = 1.87668168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55013552301376))-π/2
    2×atan(0.212219211290703)-π/2
    2×0.209116720462102-π/2
    0.418233440924203-1.57079632675     		φ = -1.15256289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87668168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.525940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15256289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.036989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104685 KachelY 97873 1.87668168 -1.15256289 107.525940 -66.036989
    Oben rechts KachelX + 1 104686 KachelY 97873 1.87672962 -1.15256289 107.528687 -66.036989
    Unten links KachelX 104685 KachelY + 1 97874 1.87668168 -1.15258235 107.525940 -66.038104
    Unten rechts KachelX + 1 104686 KachelY + 1 97874 1.87672962 -1.15258235 107.528687 -66.038104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15256289--1.15258235) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dl = 123.979660000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15256289--1.15258235) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dr = 123.979660000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87668168-1.87672962) × cos(-1.15256289) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406146788315457 × 6371000     		do = 124.047683370365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87668168-1.87672962) × cos(-1.15258235) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406129005537799 × 6371000     		du = 124.04225205234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15256289)-sin(-1.15258235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406146788315457-0.406129005537799)×R²
    abs(1.87672962-1.87668168)×1.77827776581263e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77827776581263e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77827776581263e-05×40589641000000     		ar = 15379.0529220761m²