Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10468 / 5534
↖ ↑ ↗
← N 81.597304°
W122.497558°		 ← 89.25 m → N 81.597304°
W122.492065°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
N 81.596502°
W122.497558°		 ← 89.26 m →
7 967 m²		 N 81.596502°
W122.492065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159736633300781 y=0.0844497680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159736633300781 × 216)
    floor (0.159736633300781 × 65536)
    floor (10468.5)     		tx = 10468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0844497680664062 × 216)
    floor (0.0844497680664062 × 65536)
    floor (5534.5)     		ty = 5534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10468 / 5534 ti = "16/10468/5534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10468/5534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10468 ÷ 216
    10468 ÷ 65536     		x = 0.15972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5534 ÷ 216
    5534 ÷ 65536     		y = 0.084442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.6805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13798572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084442138671875 × 2 - 1) × π
    0.83111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61102704850522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13798572} λ = -2.13798572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61102704850522))-π/2
    2×atan(13.6130249114709)-π/2
    2×1.49746897570612-π/2
    2.99493795141225-1.57079632675     		φ = 1.42414162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13798572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.497558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42414162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.597304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10468 KachelY 5534 -2.13798572 1.42414162 -122.497558 81.597304
    Oben rechts KachelX + 1 10469 KachelY 5534 -2.13788985 1.42414162 -122.492065 81.597304
    Unten links KachelX 10468 KachelY + 1 5535 -2.13798572 1.42412761 -122.497558 81.596502
    Unten rechts KachelX + 1 10469 KachelY + 1 5535 -2.13788985 1.42412761 -122.492065 81.596502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42414162-1.42412761) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dl = 89.257710000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42414162-1.42412761) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dr = 89.257710000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13798572--2.13788985) × cos(1.42414162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146129573295341 × 6371000     		do = 89.2541562041109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13798572--2.13788985) × cos(1.42412761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146143432890076 × 6371000     		du = 89.2626214750723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42414162)-sin(1.42412761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146129573295341-0.146143432890076)×R²
    abs(-2.13788985--2.13798572)×1.38595947350995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38595947350995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38595947350995e-05×40589641000000     		ar = 7966.99938633751m²