Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10468 / 2603
↖ ↑ ↗
← N 76.623985°
E 50.009766°		 ← 565.21 m → N 76.623985°
E 50.031738°		 →
↑
565.36 m
↓
↑
565.36 m
↓
N 76.618900°
E 50.009766°		 ← 565.43 m →
319 611 m²		 N 76.618900°
E 50.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638946533203125 y=0.158905029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638946533203125 × 214)
    floor (0.638946533203125 × 16384)
    floor (10468.5)     		tx = 10468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158905029296875 × 214)
    floor (0.158905029296875 × 16384)
    floor (2603.5)     		ty = 2603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10468 / 2603 ti = "14/10468/2603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10468/2603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10468 ÷ 214
    10468 ÷ 16384     		x = 0.638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2603 ÷ 214
    2603 ÷ 16384     		y = 0.15887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638916015625 × 2 - 1) × π
    0.27783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87283507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15887451171875 × 2 - 1) × π
    0.6822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14335465581195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87283507} λ = 0.87283507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14335465581195))-π/2
    2×atan(8.52799819537699)-π/2
    2×1.45406857231984-π/2
    2.90813714463967-1.57079632675     		φ = 1.33734082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87283507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33734082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.623985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10468 KachelY 2603 0.87283507 1.33734082 50.009766 76.623985
    Oben rechts KachelX + 1 10469 KachelY 2603 0.87321856 1.33734082 50.031738 76.623985
    Unten links KachelX 10468 KachelY + 1 2604 0.87283507 1.33725208 50.009766 76.618900
    Unten rechts KachelX + 1 10469 KachelY + 1 2604 0.87321856 1.33725208 50.031738 76.618900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33734082-1.33725208) × R
    8.87400000000316e-05 × 6371000     		dl = 565.362540000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33734082-1.33725208) × R
    8.87400000000316e-05 × 6371000     		dr = 565.362540000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87283507-0.87321856) × cos(1.33734082) × R
    0.000383489999999931 × 0.231340666598867 × 6371000     		do = 565.214938162708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87283507-0.87321856) × cos(1.33725208) × R
    0.000383489999999931 × 0.231426998420648 × 6371000     		du = 565.425865346531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33734082)-sin(1.33725208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231340666598867-0.231426998420648)×R²
    abs(0.87321856-0.87283507)×8.63318217809994e-05×R²
    0.000383489999999931×8.63318217809994e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.63318217809994e-05×40589641000000     		ar = 319610.978458613m²