Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10467 / 6351
↖ ↑ ↗
← N 80.915425°
W122.503052°		 ← 96.45 m → N 80.915425°
W122.497558°		 →
↑
96.46 m
↓
↑
96.46 m
↓
N 80.914557°
W122.503052°		 ← 96.46 m →
9 304 m²		 N 80.914557°
W122.497558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159721374511719 y=0.0969161987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159721374511719 × 216)
    floor (0.159721374511719 × 65536)
    floor (10467.5)     		tx = 10467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969161987304688 × 216)
    floor (0.0969161987304688 × 65536)
    floor (6351.5)     		ty = 6351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10467 / 6351 ti = "16/10467/6351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10467/6351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10467 ÷ 216
    10467 ÷ 65536     		x = 0.159713745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6351 ÷ 216
    6351 ÷ 65536     		y = 0.0969085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159713745117188 × 2 - 1) × π
    -0.680572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.13808160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0969085693359375 × 2 - 1) × π
    0.806182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53269815452605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13808160} λ = -2.13808160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53269815452605))-π/2
    2×atan(12.5874231721937)-π/2
    2×1.49151845440277-π/2
    2.98303690880554-1.57079632675     		φ = 1.41224058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13808160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.503052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41224058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.915425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10467 KachelY 6351 -2.13808160 1.41224058 -122.503052 80.915425
    Oben rechts KachelX + 1 10468 KachelY 6351 -2.13798572 1.41224058 -122.497558 80.915425
    Unten links KachelX 10467 KachelY + 1 6352 -2.13808160 1.41222544 -122.503052 80.914557
    Unten rechts KachelX + 1 10468 KachelY + 1 6352 -2.13798572 1.41222544 -122.497558 80.914557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41224058-1.41222544) × R
    1.51399999999136e-05 × 6371000     		dl = 96.4569399994493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41224058-1.41222544) × R
    1.51399999999136e-05 × 6371000     		dr = 96.4569399994493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13808160--2.13798572) × cos(1.41224058) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157892234783447 × 6371000     		do = 96.4487052979131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13808160--2.13798572) × cos(1.41222544) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157907184854482 × 6371000     		du = 96.4578375709309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41224058)-sin(1.41222544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157892234783447-0.157907184854482)×R²
    abs(-2.13798572--2.13808160)×1.49500710349693e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49500710349693e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49500710349693e-05×40589641000000     		ar = 9303.58741560443m²