Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10467 / 2605
↖ ↑ ↗
← N 76.613815°
E 49.987793°		 ← 565.65 m → N 76.613815°
E 50.009766°		 →
↑
565.81 m
↓
↑
565.81 m
↓
N 76.608726°
E 49.987793°		 ← 565.86 m →
320 110 m²		 N 76.608726°
E 50.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638885498046875 y=0.159027099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638885498046875 × 214)
    floor (0.638885498046875 × 16384)
    floor (10467.5)     		tx = 10467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159027099609375 × 214)
    floor (0.159027099609375 × 16384)
    floor (2605.5)     		ty = 2605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10467 / 2605 ti = "14/10467/2605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10467/2605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10467 ÷ 214
    10467 ÷ 16384     		x = 0.63885498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2605 ÷ 214
    2605 ÷ 16384     		y = 0.15899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63885498046875 × 2 - 1) × π
    0.2777099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87245157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15899658203125 × 2 - 1) × π
    0.6820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14258766541803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87245157} λ = 0.87245157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14258766541803))-π/2
    2×atan(8.52145981044151)-π/2
    2×1.45397982117677-π/2
    2.90795964235353-1.57079632675     		φ = 1.33716332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87245157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33716332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.613815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10467 KachelY 2605 0.87245157 1.33716332 49.987793 76.613815
    Oben rechts KachelX + 1 10468 KachelY 2605 0.87283507 1.33716332 50.009766 76.613815
    Unten links KachelX 10467 KachelY + 1 2606 0.87245157 1.33707451 49.987793 76.608726
    Unten rechts KachelX + 1 10468 KachelY + 1 2606 0.87283507 1.33707451 50.009766 76.608726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33716332-1.33707451) × R
    8.88099999998282e-05 × 6371000     		dl = 565.808509998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33716332-1.33707451) × R
    8.88099999998282e-05 × 6371000     		dr = 565.808509998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87245157-0.87283507) × cos(1.33716332) × R
    0.000383500000000092 × 0.231513347876625 × 6371000     		do = 565.651585330114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87245157-0.87283507) × cos(1.33707451) × R
    0.000383500000000092 × 0.23159974414922 × 6371000     		du = 565.862675485425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33716332)-sin(1.33707451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231513347876625-0.23159974414922)×R²
    abs(0.87283507-0.87245157)×8.63962725950462e-05×R²
    0.000383500000000092×8.63962725950462e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.63962725950462e-05×40589641000000     		ar = 320110.199186847m²