Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10465 / 2611
↖ ↑ ↗
← N 76.583258°
E 49.943848°		 ← 566.92 m → N 76.583258°
E 49.965820°		 →
↑
567.02 m
↓
↑
567.02 m
↓
N 76.578159°
E 49.943848°		 ← 567.13 m →
321 514 m²		 N 76.578159°
E 49.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638763427734375 y=0.159393310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638763427734375 × 214)
    floor (0.638763427734375 × 16384)
    floor (10465.5)     		tx = 10465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159393310546875 × 214)
    floor (0.159393310546875 × 16384)
    floor (2611.5)     		ty = 2611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10465 / 2611 ti = "14/10465/2611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10465/2611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10465 ÷ 214
    10465 ÷ 16384     		x = 0.63873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2611 ÷ 214
    2611 ÷ 16384     		y = 0.15936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63873291015625 × 2 - 1) × π
    0.2774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87168458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15936279296875 × 2 - 1) × π
    0.6812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14028669423627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87168458} λ = 0.87168458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14028669423627))-π/2
    2×atan(8.50187471799885)-π/2
    2×1.45371317008132-π/2
    2.90742634016264-1.57079632675     		φ = 1.33663001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87168458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33663001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.583258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10465 KachelY 2611 0.87168458 1.33663001 49.943848 76.583258
    Oben rechts KachelX + 1 10466 KachelY 2611 0.87206808 1.33663001 49.965820 76.583258
    Unten links KachelX 10465 KachelY + 1 2612 0.87168458 1.33654101 49.943848 76.578159
    Unten rechts KachelX + 1 10466 KachelY + 1 2612 0.87206808 1.33654101 49.965820 76.578159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33663001-1.33654101) × R
    8.90000000000057e-05 × 6371000     		dl = 567.019000000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33663001-1.33654101) × R
    8.90000000000057e-05 × 6371000     		dr = 567.019000000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87168458-0.87206808) × cos(1.33663001) × R
    0.000383499999999981 × 0.232032135817087 × 6371000     		do = 566.919128750941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87168458-0.87206808) × cos(1.33654101) × R
    0.000383499999999981 × 0.232118705920746 × 6371000     		du = 567.130643623954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33663001)-sin(1.33654101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232032135817087-0.232118705920746)×R²
    abs(0.87206808-0.87168458)×8.65701036589228e-05×R²
    0.000383499999999981×8.65701036589228e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.65701036589228e-05×40589641000000     		ar = 321513.884154405m²