Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10463 / 2610
↖ ↑ ↗
← N 76.588356°
E 49.899902°		 ← 566.71 m → N 76.588356°
E 49.921875°		 →
↑
566.83 m
↓
↑
566.83 m
↓
N 76.583258°
E 49.899902°		 ← 566.92 m →
321 286 m²		 N 76.583258°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638641357421875 y=0.159332275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638641357421875 × 214)
    floor (0.638641357421875 × 16384)
    floor (10463.5)     		tx = 10463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159332275390625 × 214)
    floor (0.159332275390625 × 16384)
    floor (2610.5)     		ty = 2610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10463 / 2610 ti = "14/10463/2610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10463/2610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10463 ÷ 214
    10463 ÷ 16384     		x = 0.63861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2610 ÷ 214
    2610 ÷ 16384     		y = 0.1593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63861083984375 × 2 - 1) × π
    0.2772216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87091759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1593017578125 × 2 - 1) × π
    0.681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14067018943323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87091759} λ = 0.87091759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14067018943323))-π/2
    2×atan(8.50513577137754)-π/2
    2×1.45375765338815-π/2
    2.9075153067763-1.57079632675     		φ = 1.33671898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87091759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33671898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.588356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10463 KachelY 2610 0.87091759 1.33671898 49.899902 76.588356
    Oben rechts KachelX + 1 10464 KachelY 2610 0.87130109 1.33671898 49.921875 76.588356
    Unten links KachelX 10463 KachelY + 1 2611 0.87091759 1.33663001 49.899902 76.583258
    Unten rechts KachelX + 1 10464 KachelY + 1 2611 0.87130109 1.33663001 49.921875 76.583258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33671898-1.33663001) × R
    8.8969999999966e-05 × 6371000     		dl = 566.827869999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33671898-1.33663001) × R
    8.8969999999966e-05 × 6371000     		dr = 566.827869999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87091759-0.87130109) × cos(1.33671898) × R
    0.000383499999999981 × 0.231945593057365 × 6371000     		do = 566.707680686781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87091759-0.87130109) × cos(1.33663001) × R
    0.000383499999999981 × 0.232032135817087 × 6371000     		du = 566.919128750941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33671898)-sin(1.33663001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231945593057365-0.232032135817087)×R²
    abs(0.87130109-0.87091759)×8.65427597224744e-05×R²
    0.000383499999999981×8.65427597224744e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.65427597224744e-05×40589641000000     		ar = 321285.635096161m²