Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10463 / 2476
↖ ↑ ↗
← N 77.254479°
E 49.899902°		 ← 539.04 m → N 77.254479°
E 49.921875°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
N 77.249630°
E 49.899902°		 ← 539.24 m →
290 692 m²		 N 77.249630°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638641357421875 y=0.151153564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638641357421875 × 214)
    floor (0.638641357421875 × 16384)
    floor (10463.5)     		tx = 10463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151153564453125 × 214)
    floor (0.151153564453125 × 16384)
    floor (2476.5)     		ty = 2476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10463 / 2476 ti = "14/10463/2476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10463/2476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10463 ÷ 214
    10463 ÷ 16384     		x = 0.63861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2476 ÷ 214
    2476 ÷ 16384     		y = 0.151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63861083984375 × 2 - 1) × π
    0.2772216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87091759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151123046875 × 2 - 1) × π
    0.69775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19205854582593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87091759} λ = 0.87091759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19205854582593))-π/2
    2×atan(8.95362560533558)-π/2
    2×1.45957067102389-π/2
    2.91914134204779-1.57079632675     		φ = 1.34834502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87091759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34834502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.254479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10463 KachelY 2476 0.87091759 1.34834502 49.899902 77.254479
    Oben rechts KachelX + 1 10464 KachelY 2476 0.87130109 1.34834502 49.921875 77.254479
    Unten links KachelX 10463 KachelY + 1 2477 0.87091759 1.34826039 49.899902 77.249630
    Unten rechts KachelX + 1 10464 KachelY + 1 2477 0.87130109 1.34826039 49.921875 77.249630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34834502-1.34826039) × R
    8.46299999999189e-05 × 6371000     		dl = 539.177729999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34834502-1.34826039) × R
    8.46299999999189e-05 × 6371000     		dr = 539.177729999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87091759-0.87130109) × cos(1.34834502) × R
    0.000383499999999981 × 0.220621189073553 × 6371000     		do = 539.039007907821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87091759-0.87130109) × cos(1.34826039) × R
    0.000383499999999981 × 0.220703732963799 × 6371000     		du = 539.240685620166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34834502)-sin(1.34826039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220621189073553-0.220703732963799)×R²
    abs(0.87130109-0.87091759)×8.25438902460063e-05×R²
    0.000383499999999981×8.25438902460063e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.25438902460063e-05×40589641000000     		ar = 290692.19890361m²