Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10462 / 2475
↖ ↑ ↗
← N 77.259326°
E 49.877930°		 ← 538.82 m → N 77.259326°
E 49.899902°		 →
↑
538.92 m
↓
↑
538.92 m
↓
N 77.254479°
E 49.877930°		 ← 539.02 m →
290 439 m²		 N 77.254479°
E 49.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638580322265625 y=0.151092529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638580322265625 × 214)
    floor (0.638580322265625 × 16384)
    floor (10462.5)     		tx = 10462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151092529296875 × 214)
    floor (0.151092529296875 × 16384)
    floor (2475.5)     		ty = 2475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10462 / 2475 ti = "14/10462/2475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10462/2475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10462 ÷ 214
    10462 ÷ 16384     		x = 0.6385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2475 ÷ 214
    2475 ÷ 16384     		y = 0.15106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6385498046875 × 2 - 1) × π
    0.277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87053410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15106201171875 × 2 - 1) × π
    0.6978759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19244204102289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87053410} λ = 0.87053410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19244204102289))-π/2
    2×atan(8.95705993623322)-π/2
    2×1.45961296669716-π/2
    2.91922593339432-1.57079632675     		φ = 1.34842961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87053410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34842961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.259326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10462 KachelY 2475 0.87053410 1.34842961 49.877930 77.259326
    Oben rechts KachelX + 1 10463 KachelY 2475 0.87091759 1.34842961 49.899902 77.259326
    Unten links KachelX 10462 KachelY + 1 2476 0.87053410 1.34834502 49.877930 77.254479
    Unten rechts KachelX + 1 10463 KachelY + 1 2476 0.87091759 1.34834502 49.899902 77.254479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34842961-1.34834502) × R
    8.458999999994e-05 × 6371000     		dl = 538.922889999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34842961-1.34834502) × R
    8.458999999994e-05 × 6371000     		dr = 538.922889999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87053410-0.87091759) × cos(1.34842961) × R
    0.000383490000000042 × 0.220538682618295 × 6371000     		do = 538.823371140194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87053410-0.87091759) × cos(1.34834502) × R
    0.000383490000000042 × 0.220621189073553 × 6371000     		du = 539.024952131951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34842961)-sin(1.34834502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220538682618295-0.220621189073553)×R²
    abs(0.87091759-0.87053410)×8.25064552578969e-05×R²
    0.000383490000000042×8.25064552578969e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.25064552578969e-05×40589641000000     		ar = 290438.566854374m²