Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10461 / 2487
↖ ↑ ↗
← N 77.201045°
E 49.855957°		 ← 541.26 m → N 77.201045°
E 49.877930°		 →
↑
541.34 m
↓
↑
541.34 m
↓
N 77.196177°
E 49.855957°		 ← 541.46 m →
293 063 m²		 N 77.196177°
E 49.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638519287109375 y=0.151824951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638519287109375 × 214)
    floor (0.638519287109375 × 16384)
    floor (10461.5)     		tx = 10461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151824951171875 × 214)
    floor (0.151824951171875 × 16384)
    floor (2487.5)     		ty = 2487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10461 / 2487 ti = "14/10461/2487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10461/2487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10461 ÷ 214
    10461 ÷ 16384     		x = 0.63848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2487 ÷ 214
    2487 ÷ 16384     		y = 0.15179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    0.2769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87015060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15179443359375 × 2 - 1) × π
    0.6964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18784009865936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87015060} λ = 0.87015060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18784009865936))-π/2
    2×atan(8.91593476307693)-π/2
    2×1.45910437303218-π/2
    2.91820874606437-1.57079632675     		φ = 1.34741242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87015060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34741242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.201045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10461 KachelY 2487 0.87015060 1.34741242 49.855957 77.201045
    Oben rechts KachelX + 1 10462 KachelY 2487 0.87053410 1.34741242 49.877930 77.201045
    Unten links KachelX 10461 KachelY + 1 2488 0.87015060 1.34732745 49.855957 77.196177
    Unten rechts KachelX + 1 10462 KachelY + 1 2488 0.87053410 1.34732745 49.877930 77.196177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34741242-1.34732745) × R
    8.4969999999851e-05 × 6371000     		dl = 541.343869999051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34741242-1.34732745) × R
    8.4969999999851e-05 × 6371000     		dr = 541.343869999051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87015060-0.87053410) × cos(1.34741242) × R
    0.000383499999999981 × 0.221530713334913 × 6371000     		do = 541.261228980829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87015060-0.87053410) × cos(1.34732745) × R
    0.000383499999999981 × 0.221613571319039 × 6371000     		du = 541.463674111999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34741242)-sin(1.34732745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221530713334913-0.221613571319039)×R²
    abs(0.87053410-0.87015060)×8.28579841265498e-05×R²
    0.000383499999999981×8.28579841265498e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.28579841265498e-05×40589641000000     		ar = 293063.244768667m²