Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10461 / 2472
↖ ↑ ↗
← N 77.273855°
E 49.855957°		 ← 538.23 m → N 77.273855°
E 49.877930°		 →
↑
538.35 m
↓
↑
538.35 m
↓
N 77.269013°
E 49.855957°		 ← 538.43 m →
289 812 m²		 N 77.269013°
E 49.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638519287109375 y=0.150909423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638519287109375 × 214)
    floor (0.638519287109375 × 16384)
    floor (10461.5)     		tx = 10461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150909423828125 × 214)
    floor (0.150909423828125 × 16384)
    floor (2472.5)     		ty = 2472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10461 / 2472 ti = "14/10461/2472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10461/2472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10461 ÷ 214
    10461 ÷ 16384     		x = 0.63848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2472 ÷ 214
    2472 ÷ 16384     		y = 0.15087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    0.2769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87015060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15087890625 × 2 - 1) × π
    0.6982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87015060} λ = 0.87015060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19359252661377))-π/2
    2×atan(8.9673708347593)-π/2
    2×1.45973975883225-π/2
    2.9194795176645-1.57079632675     		φ = 1.34868319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87015060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34868319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10461 KachelY 2472 0.87015060 1.34868319 49.855957 77.273855
    Oben rechts KachelX + 1 10462 KachelY 2472 0.87053410 1.34868319 49.877930 77.273855
    Unten links KachelX 10461 KachelY + 1 2473 0.87015060 1.34859869 49.855957 77.269013
    Unten rechts KachelX + 1 10462 KachelY + 1 2473 0.87053410 1.34859869 49.877930 77.269013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34868319-1.34859869) × R
    8.45000000000429e-05 × 6371000     		dl = 538.349500000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34868319-1.34859869) × R
    8.45000000000429e-05 × 6371000     		dr = 538.349500000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87015060-0.87053410) × cos(1.34868319) × R
    0.000383499999999981 × 0.220291339119025 × 6371000     		do = 538.233092605696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87015060-0.87053410) × cos(1.34859869) × R
    0.000383499999999981 × 0.220373762515749 × 6371000     		du = 538.434475918808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34868319)-sin(1.34859869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220291339119025-0.220373762515749)×R²
    abs(0.87053410-0.87015060)×8.24233967237353e-05×R²
    0.000383499999999981×8.24233967237353e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.24233967237353e-05×40589641000000     		ar = 289811.723763108m²