Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10460 / 2626
↖ ↑ ↗
← N 76.506569°
E 49.833985°		 ← 570.08 m → N 76.506569°
E 49.855957°		 →
↑
570.14 m
↓
↑
570.14 m
↓
N 76.501441°
E 49.833985°		 ← 570.30 m →
325 089 m²		 N 76.501441°
E 49.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638458251953125 y=0.160308837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638458251953125 × 214)
    floor (0.638458251953125 × 16384)
    floor (10460.5)     		tx = 10460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160308837890625 × 214)
    floor (0.160308837890625 × 16384)
    floor (2626.5)     		ty = 2626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10460 / 2626 ti = "14/10460/2626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10460/2626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10460 ÷ 214
    10460 ÷ 16384     		x = 0.638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2626 ÷ 214
    2626 ÷ 16384     		y = 0.1602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    0.27685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86976711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1602783203125 × 2 - 1) × π
    0.679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13453426628186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86976711} λ = 0.86976711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13453426628186))-π/2
    2×atan(8.45310869220515)-π/2
    2×1.45304392560721-π/2
    2.90608785121442-1.57079632675     		φ = 1.33529152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86976711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.833985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33529152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.506569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10460 KachelY 2626 0.86976711 1.33529152 49.833985 76.506569
    Oben rechts KachelX + 1 10461 KachelY 2626 0.87015060 1.33529152 49.855957 76.506569
    Unten links KachelX 10460 KachelY + 1 2627 0.86976711 1.33520203 49.833985 76.501441
    Unten rechts KachelX + 1 10461 KachelY + 1 2627 0.87015060 1.33520203 49.855957 76.501441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33529152-1.33520203) × R
    8.94899999999144e-05 × 6371000     		dl = 570.140789999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33529152-1.33520203) × R
    8.94899999999144e-05 × 6371000     		dr = 570.140789999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86976711-0.87015060) × cos(1.33529152) × R
    0.000383490000000042 × 0.233333887671529 × 6371000     		do = 570.084805367339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86976711-0.87015060) × cos(1.33520203) × R
    0.000383490000000042 × 0.233420906515688 × 6371000     		du = 570.297411094398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33529152)-sin(1.33520203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233333887671529-0.233420906515688)×R²
    abs(0.87015060-0.86976711)×8.70188441594033e-05×R²
    0.000383490000000042×8.70188441594033e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.70188441594033e-05×40589641000000     		ar = 325089.209113766m²