Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1046 / 765
↖ ↑ ↗
← N 41.376808°
E  3.867187°		 ← 14.667 km → N 41.376808°
E  4.042969°		 →
↑
14.682 km
↓
↑
14.682 km
↓
N 41.244773°
E  3.867187°		 ← 14.697 km →
215.554 km²		 N 41.244773°
E  4.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510986328125 y=0.373779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510986328125 × 211)
    floor (0.510986328125 × 2048)
    floor (1046.5)     		tx = 1046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373779296875 × 211)
    floor (0.373779296875 × 2048)
    floor (765.5)     		ty = 765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1046 / 765 ti = "11/1046/765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1046/765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1046 ÷ 211
    1046 ÷ 2048     		x = 0.5107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 765 ÷ 211
    765 ÷ 2048     		y = 0.37353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    0.021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06749515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37353515625 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.794602048102051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06749515} λ = 0.06749515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.794602048102051))-π/2
    2×atan(2.21355993112901)-π/2
    2×1.14647893510838-π/2
    2.29295787021675-1.57079632675     		φ = 0.72216154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06749515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72216154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.376808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1046 KachelY 765 0.06749515 0.72216154 3.867187 41.376808
    Oben rechts KachelX + 1 1047 KachelY 765 0.07056312 0.72216154 4.042969 41.376808
    Unten links KachelX 1046 KachelY + 1 766 0.06749515 0.71985708 3.867187 41.244773
    Unten rechts KachelX + 1 1047 KachelY + 1 766 0.07056312 0.71985708 4.042969 41.244773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72216154-0.71985708) × R
    0.00230445999999995 × 6371000     		dl = 14681.7146599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72216154-0.71985708) × R
    0.00230445999999995 × 6371000     		dr = 14681.7146599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06749515-0.07056312) × cos(0.72216154) × R
    0.00306796999999999 × 0.750378687593506 × 6371000     		do = 14666.9294941648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06749515-0.07056312) × cos(0.71985708) × R
    0.00306796999999999 × 0.751899960719653 × 6371000     		du = 14696.6643547778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72216154)-sin(0.71985708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750378687593506-0.751899960719653)×R²
    abs(0.07056312-0.06749515)×0.00152127312614703×R²
    0.00306796999999999×0.00152127312614703×6371000²
    0.00306796999999999×0.00152127312614703×40589641000000     		ar = 215554048.533457m²