Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1046 / 3133
↖ ↑ ↗
← N 38.925229°
W134.033203°		 ← 3 801.53 m → N 38.925229°
W133.989258°		 →
↑
3 802.47 m
↓
↑
3 802.47 m
↓
N 38.891033°
W134.033203°		 ← 3 803.36 m →
14 458 672 m²		 N 38.891033°
W133.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12774658203125 y=0.38250732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12774658203125 × 213)
    floor (0.12774658203125 × 8192)
    floor (1046.5)     		tx = 1046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38250732421875 × 213)
    floor (0.38250732421875 × 8192)
    floor (3133.5)     		ty = 3133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1046 / 3133 ti = "13/1046/3133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1046/3133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1046 ÷ 213
    1046 ÷ 8192     		x = 0.127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3133 ÷ 213
    3133 ÷ 8192     		y = 0.3824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.74462890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33932070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3824462890625 × 2 - 1) × π
    0.235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.738611749345825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33932070} λ = -2.33932070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.738611749345825))-π/2
    2×atan(2.09302784939623)-π/2
    2×1.12508486787201-π/2
    2.25016973574401-1.57079632675     		φ = 0.67937341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33932070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67937341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.925229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1046 KachelY 3133 -2.33932070 0.67937341 -134.033203 38.925229
    Oben rechts KachelX + 1 1047 KachelY 3133 -2.33855371 0.67937341 -133.989258 38.925229
    Unten links KachelX 1046 KachelY + 1 3134 -2.33932070 0.67877657 -134.033203 38.891033
    Unten rechts KachelX + 1 1047 KachelY + 1 3134 -2.33855371 0.67877657 -133.989258 38.891033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67937341-0.67877657) × R
    0.000596839999999932 × 6371000     		dl = 3802.46763999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67937341-0.67877657) × R
    0.000596839999999932 × 6371000     		dr = 3802.46763999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33932070--2.33855371) × cos(0.67937341) × R
    0.000766990000000245 × 0.777966561502704 × 6371000     		do = 3801.52838262855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33932070--2.33855371) × cos(0.67877657) × R
    0.000766990000000245 × 0.778341420880445 × 6371000     		du = 3803.36013046257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67937341)-sin(0.67877657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777966561502704-0.778341420880445)×R²
    abs(-2.33855371--2.33932070)×0.000374859377741177×R²
    0.000766990000000245×0.000374859377741177×6371000²
    0.000766990000000245×0.000374859377741177×40589641000000     		ar = 14458671.6676179m²