Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10457 / 2461
↖ ↑ ↗
← N 77.326990°
E 49.768066°		 ← 536.02 m → N 77.326990°
E 49.790039°		 →
↑
536.12 m
↓
↑
536.12 m
↓
N 77.322168°
E 49.768066°		 ← 536.22 m →
287 426 m²		 N 77.322168°
E 49.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638275146484375 y=0.150238037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638275146484375 × 214)
    floor (0.638275146484375 × 16384)
    floor (10457.5)     		tx = 10457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150238037109375 × 214)
    floor (0.150238037109375 × 16384)
    floor (2461.5)     		ty = 2461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10457 / 2461 ti = "14/10457/2461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10457/2461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10457 ÷ 214
    10457 ÷ 16384     		x = 0.63824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2461 ÷ 214
    2461 ÷ 16384     		y = 0.15020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63824462890625 × 2 - 1) × π
    0.2764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86861662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15020751953125 × 2 - 1) × π
    0.6995849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19781097378033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86861662} λ = 0.86861662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19781097378033))-π/2
    2×atan(9.00527911567309)-π/2
    2×1.46020344779951-π/2
    2.92040689559902-1.57079632675     		φ = 1.34961057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86861662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.768066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34961057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.326990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10457 KachelY 2461 0.86861662 1.34961057 49.768066 77.326990
    Oben rechts KachelX + 1 10458 KachelY 2461 0.86900012 1.34961057 49.790039 77.326990
    Unten links KachelX 10457 KachelY + 1 2462 0.86861662 1.34952642 49.768066 77.322168
    Unten rechts KachelX + 1 10458 KachelY + 1 2462 0.86900012 1.34952642 49.790039 77.322168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34961057-1.34952642) × R
    8.41500000001716e-05 × 6371000     		dl = 536.119650001093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34961057-1.34952642) × R
    8.41500000001716e-05 × 6371000     		dr = 536.119650001093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86861662-0.86900012) × cos(1.34961057) × R
    0.000383500000000092 × 0.219386646423867 × 6371000     		do = 536.022676394665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86861662-0.86900012) × cos(1.34952642) × R
    0.000383500000000092 × 0.219468745584377 × 6371000     		du = 536.223267508406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34961057)-sin(1.34952642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219386646423867-0.219468745584377)×R²
    abs(0.86900012-0.86861662)×8.20991605095522e-05×R²
    0.000383500000000092×8.20991605095522e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.20991605095522e-05×40589641000000     		ar = 287426.060250556m²