Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10455 / 2494
↖ ↑ ↗
← N 77.166927°
E 49.724121°		 ← 542.68 m → N 77.166927°
E 49.746094°		 →
↑
542.81 m
↓
↑
542.81 m
↓
N 77.162045°
E 49.724121°		 ← 542.88 m →
294 627 m²		 N 77.162045°
E 49.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638153076171875 y=0.152252197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638153076171875 × 214)
    floor (0.638153076171875 × 16384)
    floor (10455.5)     		tx = 10455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152252197265625 × 214)
    floor (0.152252197265625 × 16384)
    floor (2494.5)     		ty = 2494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10455 / 2494 ti = "14/10455/2494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10455/2494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10455 ÷ 214
    10455 ÷ 16384     		x = 0.63812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2494 ÷ 214
    2494 ÷ 16384     		y = 0.1522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63812255859375 × 2 - 1) × π
    0.2762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86784963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1522216796875 × 2 - 1) × π
    0.695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18515563228064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86784963} λ = 0.86784963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18515563228064))-π/2
    2×atan(8.89203233295969)-π/2
    2×1.45880663764205-π/2
    2.91761327528409-1.57079632675     		φ = 1.34681695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86784963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.724121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34681695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.166927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10455 KachelY 2494 0.86784963 1.34681695 49.724121 77.166927
    Oben rechts KachelX + 1 10456 KachelY 2494 0.86823313 1.34681695 49.746094 77.166927
    Unten links KachelX 10455 KachelY + 1 2495 0.86784963 1.34673175 49.724121 77.162045
    Unten rechts KachelX + 1 10456 KachelY + 1 2495 0.86823313 1.34673175 49.746094 77.162045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34681695-1.34673175) × R
    8.52000000000075e-05 × 6371000     		dl = 542.809200000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34681695-1.34673175) × R
    8.52000000000075e-05 × 6371000     		dr = 542.809200000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86784963-0.86823313) × cos(1.34681695) × R
    0.000383499999999981 × 0.222111348616814 × 6371000     		do = 542.67988268144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86784963-0.86823313) × cos(1.34673175) × R
    0.000383499999999981 × 0.2221944196259 × 6371000     		du = 542.882848291913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34681695)-sin(1.34673175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222111348616814-0.2221944196259)×R²
    abs(0.86823313-0.86784963)×8.30710090857223e-05×R²
    0.000383499999999981×8.30710090857223e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.30710090857223e-05×40589641000000     		ar = 294626.718953326m²