Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10455 / 2485
↖ ↑ ↗
← N 77.210777°
E 49.724121°		 ← 540.86 m → N 77.210777°
E 49.746094°		 →
↑
540.96 m
↓
↑
540.96 m
↓
N 77.205912°
E 49.724121°		 ← 541.06 m →
292 637 m²		 N 77.205912°
E 49.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638153076171875 y=0.151702880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638153076171875 × 214)
    floor (0.638153076171875 × 16384)
    floor (10455.5)     		tx = 10455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151702880859375 × 214)
    floor (0.151702880859375 × 16384)
    floor (2485.5)     		ty = 2485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10455 / 2485 ti = "14/10455/2485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10455/2485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10455 ÷ 214
    10455 ÷ 16384     		x = 0.63812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2485 ÷ 214
    2485 ÷ 16384     		y = 0.15167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63812255859375 × 2 - 1) × π
    0.2762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86784963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15167236328125 × 2 - 1) × π
    0.6966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18860708905328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86784963} λ = 0.86784963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18860708905328))-π/2
    2×atan(8.92277582257112)-π/2
    2×1.45918929723381-π/2
    2.91837859446763-1.57079632675     		φ = 1.34758227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86784963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.724121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34758227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.210777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10455 KachelY 2485 0.86784963 1.34758227 49.724121 77.210777
    Oben rechts KachelX + 1 10456 KachelY 2485 0.86823313 1.34758227 49.746094 77.210777
    Unten links KachelX 10455 KachelY + 1 2486 0.86784963 1.34749736 49.724121 77.205912
    Unten rechts KachelX + 1 10456 KachelY + 1 2486 0.86823313 1.34749736 49.746094 77.205912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34758227-1.34749736) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dl = 540.961609999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34758227-1.34749736) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dr = 540.961609999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86784963-0.86823313) × cos(1.34758227) × R
    0.000383499999999981 × 0.22136508033616 × 6371000     		do = 540.856541436086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86784963-0.86823313) × cos(1.34749736) × R
    0.000383499999999981 × 0.221447883006523 × 6371000     		du = 541.058851420326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34758227)-sin(1.34749736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22136508033616-0.221447883006523)×R²
    abs(0.86823313-0.86784963)×8.28026703628137e-05×R²
    0.000383499999999981×8.28026703628137e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.28026703628137e-05×40589641000000     		ar = 292637.346577596m²