Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10455 / 15116
↖ ↑ ↗
← N 69.139097°
W122.568970°		 ← 217.50 m → N 69.139097°
W122.563477°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
N 69.137141°
W122.568970°		 ← 217.52 m →
47 324 m²		 N 69.137141°
W122.563477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159538269042969 y=0.230659484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159538269042969 × 216)
    floor (0.159538269042969 × 65536)
    floor (10455.5)     		tx = 10455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230659484863281 × 216)
    floor (0.230659484863281 × 65536)
    floor (15116.5)     		ty = 15116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10455 / 15116 ti = "16/10455/15116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10455/15116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10455 ÷ 216
    10455 ÷ 65536     		x = 0.159530639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15116 ÷ 216
    15116 ÷ 65536     		y = 0.23065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159530639648438 × 2 - 1) × π
    -0.680938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13923208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23065185546875 × 2 - 1) × π
    0.5386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69236430418646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13923208} λ = -2.13923208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69236430418646))-π/2
    2×atan(5.43230916526595)-π/2
    2×1.38875060655204-π/2
    2.77750121310408-1.57079632675     		φ = 1.20670489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13923208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.568970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20670489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.139097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10455 KachelY 15116 -2.13923208 1.20670489 -122.568970 69.139097
    Oben rechts KachelX + 1 10456 KachelY 15116 -2.13913621 1.20670489 -122.563477 69.139097
    Unten links KachelX 10455 KachelY + 1 15117 -2.13923208 1.20667074 -122.568970 69.137141
    Unten rechts KachelX + 1 10456 KachelY + 1 15117 -2.13913621 1.20667074 -122.563477 69.137141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20670489-1.20667074) × R
    3.4149999999844e-05 × 6371000     		dl = 217.569649999006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20670489-1.20667074) × R
    3.4149999999844e-05 × 6371000     		dr = 217.569649999006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13923208--2.13913621) × cos(1.20670489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356100436786763 × 6371000     		do = 217.501791681008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13923208--2.13913621) × cos(1.20667074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356132347967606 × 6371000     		du = 217.521282639993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20670489)-sin(1.20667074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356100436786763-0.356132347967606)×R²
    abs(-2.13913621--2.13923208)×3.19111808435579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19111808435579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19111808435579e-05×40589641000000     		ar = 47323.9090155899m²