Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10453 / 2499
↖ ↑ ↗
← N 77.142502°
E 49.680176°		 ← 543.70 m → N 77.142502°
E 49.702149°		 →
↑
543.83 m
↓
↑
543.83 m
↓
N 77.137612°
E 49.680176°		 ← 543.90 m →
295 732 m²		 N 77.137612°
E 49.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638031005859375 y=0.152557373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638031005859375 × 214)
    floor (0.638031005859375 × 16384)
    floor (10453.5)     		tx = 10453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152557373046875 × 214)
    floor (0.152557373046875 × 16384)
    floor (2499.5)     		ty = 2499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10453 / 2499 ti = "14/10453/2499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10453/2499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10453 ÷ 214
    10453 ÷ 16384     		x = 0.63800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2499 ÷ 214
    2499 ÷ 16384     		y = 0.15252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63800048828125 × 2 - 1) × π
    0.2760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86708264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15252685546875 × 2 - 1) × π
    0.6949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18323815629584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86708264} λ = 0.86708264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18323815629584))-π/2
    2×atan(8.87499841079257)-π/2
    2×1.45859349187418-π/2
    2.91718698374835-1.57079632675     		φ = 1.34639066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86708264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34639066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.142502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10453 KachelY 2499 0.86708264 1.34639066 49.680176 77.142502
    Oben rechts KachelX + 1 10454 KachelY 2499 0.86746614 1.34639066 49.702149 77.142502
    Unten links KachelX 10453 KachelY + 1 2500 0.86708264 1.34630530 49.680176 77.137612
    Unten rechts KachelX + 1 10454 KachelY + 1 2500 0.86746614 1.34630530 49.702149 77.137612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34639066-1.34630530) × R
    8.53599999999233e-05 × 6371000     		dl = 543.828559999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34639066-1.34630530) × R
    8.53599999999233e-05 × 6371000     		dr = 543.828559999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86708264-0.86746614) × cos(1.34639066) × R
    0.000383499999999981 × 0.222526970255735 × 6371000     		do = 543.695362095951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86708264-0.86746614) × cos(1.34630530) × R
    0.000383499999999981 × 0.22261018917391 × 6371000     		du = 543.898689089519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34639066)-sin(1.34630530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222526970255735-0.22261018917391)×R²
    abs(0.86746614-0.86708264)×8.32189181742271e-05×R²
    0.000383499999999981×8.32189181742271e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.32189181742271e-05×40589641000000     		ar = 295732.353540301m²