Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10453 / 2495
↖ ↑ ↗
← N 77.162045°
E 49.680176°		 ← 542.88 m → N 77.162045°
E 49.702149°		 →
↑
542.94 m
↓
↑
542.94 m
↓
N 77.157163°
E 49.680176°		 ← 543.09 m →
294 806 m²		 N 77.157163°
E 49.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638031005859375 y=0.152313232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638031005859375 × 214)
    floor (0.638031005859375 × 16384)
    floor (10453.5)     		tx = 10453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152313232421875 × 214)
    floor (0.152313232421875 × 16384)
    floor (2495.5)     		ty = 2495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10453 / 2495 ti = "14/10453/2495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10453/2495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10453 ÷ 214
    10453 ÷ 16384     		x = 0.63800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2495 ÷ 214
    2495 ÷ 16384     		y = 0.15228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63800048828125 × 2 - 1) × π
    0.2760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86708264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15228271484375 × 2 - 1) × π
    0.6954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18477213708368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86708264} λ = 0.86708264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18477213708368))-π/2
    2×atan(8.88862293505443)-π/2
    2×1.45876404036072-π/2
    2.91752808072143-1.57079632675     		φ = 1.34673175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86708264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34673175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.162045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10453 KachelY 2495 0.86708264 1.34673175 49.680176 77.162045
    Oben rechts KachelX + 1 10454 KachelY 2495 0.86746614 1.34673175 49.702149 77.162045
    Unten links KachelX 10453 KachelY + 1 2496 0.86708264 1.34664653 49.680176 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 10454 KachelY + 1 2496 0.86746614 1.34664653 49.702149 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34673175-1.34664653) × R
    8.5220000000108e-05 × 6371000     		dl = 542.936620000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34673175-1.34664653) × R
    8.5220000000108e-05 × 6371000     		dr = 542.936620000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86708264-0.86746614) × cos(1.34673175) × R
    0.000383499999999981 × 0.2221944196259 × 6371000     		do = 542.882848291913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86708264-0.86746614) × cos(1.34664653) × R
    0.000383499999999981 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 543.085857604699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34673175)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2221944196259-0.222277508521736)×R²
    abs(0.86746614-0.86708264)×8.30888958364973e-05×R²
    0.000383499999999981×8.30888958364973e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.30888958364973e-05×40589641000000     		ar = 294806.08948117m²