Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10453 / 2490
↖ ↑ ↗
← N 77.186434°
E 49.680176°		 ← 541.87 m → N 77.186434°
E 49.702149°		 →
↑
541.98 m
↓
↑
541.98 m
↓
N 77.181560°
E 49.680176°		 ← 542.07 m →
293 737 m²		 N 77.181560°
E 49.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638031005859375 y=0.152008056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638031005859375 × 214)
    floor (0.638031005859375 × 16384)
    floor (10453.5)     		tx = 10453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152008056640625 × 214)
    floor (0.152008056640625 × 16384)
    floor (2490.5)     		ty = 2490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10453 / 2490 ti = "14/10453/2490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10453/2490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10453 ÷ 214
    10453 ÷ 16384     		x = 0.63800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2490 ÷ 214
    2490 ÷ 16384     		y = 0.1519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63800048828125 × 2 - 1) × π
    0.2760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86708264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1519775390625 × 2 - 1) × π
    0.696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18668961306848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86708264} λ = 0.86708264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18668961306848))-π/2
    2×atan(8.90568300698239)-π/2
    2×1.45897686757553-π/2
    2.91795373515106-1.57079632675     		φ = 1.34715741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86708264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34715741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.186434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10453 KachelY 2490 0.86708264 1.34715741 49.680176 77.186434
    Oben rechts KachelX + 1 10454 KachelY 2490 0.86746614 1.34715741 49.702149 77.186434
    Unten links KachelX 10453 KachelY + 1 2491 0.86708264 1.34707234 49.680176 77.181560
    Unten rechts KachelX + 1 10454 KachelY + 1 2491 0.86746614 1.34707234 49.702149 77.181560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34715741-1.34707234) × R
    8.50700000001314e-05 × 6371000     		dl = 541.980970000837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34715741-1.34707234) × R
    8.50700000001314e-05 × 6371000     		dr = 541.980970000837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86708264-0.86746614) × cos(1.34715741) × R
    0.000383499999999981 × 0.221779379996299 × 6371000     		do = 541.86879088826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86708264-0.86746614) × cos(1.34707234) × R
    0.000383499999999981 × 0.221862330684463 × 6371000     		du = 542.071462521212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34715741)-sin(1.34707234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221779379996299-0.221862330684463)×R²
    abs(0.86746614-0.86708264)×8.29506881644404e-05×R²
    0.000383499999999981×8.29506881644404e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.29506881644404e-05×40589641000000     		ar = 293737.495160158m²