Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10452 / 2538
↖ ↑ ↗
← N 76.950415°
E 49.658203°		 ← 551.66 m → N 76.950415°
E 49.680176°		 →
↑
551.79 m
↓
↑
551.79 m
↓
N 76.945452°
E 49.658203°		 ← 551.87 m →
304 461 m²		 N 76.945452°
E 49.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637969970703125 y=0.154937744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637969970703125 × 214)
    floor (0.637969970703125 × 16384)
    floor (10452.5)     		tx = 10452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154937744140625 × 214)
    floor (0.154937744140625 × 16384)
    floor (2538.5)     		ty = 2538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10452 / 2538 ti = "14/10452/2538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10452/2538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10452 ÷ 214
    10452 ÷ 16384     		x = 0.637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2538 ÷ 214
    2538 ÷ 16384     		y = 0.1549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637939453125 × 2 - 1) × π
    0.27587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86669915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1549072265625 × 2 - 1) × π
    0.690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16828184361438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86669915} λ = 0.86669915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16828184361438))-π/2
    2×atan(8.74324885918449)-π/2
    2×1.45691721200944-π/2
    2.91383442401888-1.57079632675     		φ = 1.34303810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86669915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34303810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.950415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10452 KachelY 2538 0.86669915 1.34303810 49.658203 76.950415
    Oben rechts KachelX + 1 10453 KachelY 2538 0.86708264 1.34303810 49.680176 76.950415
    Unten links KachelX 10452 KachelY + 1 2539 0.86669915 1.34295149 49.658203 76.945452
    Unten rechts KachelX + 1 10453 KachelY + 1 2539 0.86708264 1.34295149 49.680176 76.945452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34303810-1.34295149) × R
    8.6610000000098e-05 × 6371000     		dl = 551.792310000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34303810-1.34295149) × R
    8.6610000000098e-05 × 6371000     		dr = 551.792310000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86669915-0.86708264) × cos(1.34303810) × R
    0.000383490000000042 × 0.225794213272747 × 6371000     		do = 551.663761364449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86669915-0.86708264) × cos(1.34295149) × R
    0.000383490000000042 × 0.225878585724412 × 6371000     		du = 551.869901386227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34303810)-sin(1.34295149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225794213272747-0.225878585724412)×R²
    abs(0.86708264-0.86669915)×8.4372451665371e-05×R²
    0.000383490000000042×8.4372451665371e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.4372451665371e-05×40589641000000     		ar = 304460.694655818m²