Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10452 / 2491
↖ ↑ ↗
← N 77.181560°
E 49.658203°		 ← 542.06 m → N 77.181560°
E 49.680176°		 →
↑
542.17 m
↓
↑
542.17 m
↓
N 77.176684°
E 49.658203°		 ← 542.26 m →
293 943 m²		 N 77.176684°
E 49.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637969970703125 y=0.152069091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637969970703125 × 214)
    floor (0.637969970703125 × 16384)
    floor (10452.5)     		tx = 10452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152069091796875 × 214)
    floor (0.152069091796875 × 16384)
    floor (2491.5)     		ty = 2491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10452 / 2491 ti = "14/10452/2491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10452/2491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10452 ÷ 214
    10452 ÷ 16384     		x = 0.637939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2491 ÷ 214
    2491 ÷ 16384     		y = 0.15203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637939453125 × 2 - 1) × π
    0.27587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86669915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15203857421875 × 2 - 1) × π
    0.6959228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18630611787152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86669915} λ = 0.86669915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18630611787152))-π/2
    2×atan(8.90226837511287)-π/2
    2×1.45893433395965-π/2
    2.9178686679193-1.57079632675     		φ = 1.34707234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86669915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34707234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.181560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10452 KachelY 2491 0.86669915 1.34707234 49.658203 77.181560
    Oben rechts KachelX + 1 10453 KachelY 2491 0.86708264 1.34707234 49.680176 77.181560
    Unten links KachelX 10452 KachelY + 1 2492 0.86669915 1.34698724 49.658203 77.176684
    Unten rechts KachelX + 1 10453 KachelY + 1 2492 0.86708264 1.34698724 49.680176 77.176684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34707234-1.34698724) × R
    8.50999999999491e-05 × 6371000     		dl = 542.172099999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34707234-1.34698724) × R
    8.50999999999491e-05 × 6371000     		dr = 542.172099999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86669915-0.86708264) × cos(1.34707234) × R
    0.000383490000000042 × 0.221862330684463 × 6371000     		do = 542.05732767221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86669915-0.86708264) × cos(1.34698724) × R
    0.000383490000000042 × 0.221945309018804 × 6371000     		du = 542.260061565923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34707234)-sin(1.34698724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221862330684463-0.221945309018804)×R²
    abs(0.86708264-0.86669915)×8.29783343412605e-05×R²
    0.000383490000000042×8.29783343412605e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.29783343412605e-05×40589641000000     		ar = 293943.318172214m²