Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104503 / 98163
↖ ↑ ↗
← S 66.358441°
E107.026062°		 ← 122.45 m → S 66.358441°
E107.028808°		 →
↑
122.45 m
↓
↑
122.45 m
↓
S 66.359542°
E107.026062°		 ← 122.45 m →
14 994 m²		 S 66.359542°
E107.028808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.797298431396484 y=0.748928070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.797298431396484 × 217)
    floor (0.797298431396484 × 131072)
    floor (104503.5)     		tx = 104503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748928070068359 × 217)
    floor (0.748928070068359 × 131072)
    floor (98163.5)     		ty = 98163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104503 / 98163 ti = "17/104503/98163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104503/98163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104503 ÷ 217
    104503 ÷ 131072     		x = 0.797294616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98163 ÷ 217
    98163 ÷ 131072     		y = 0.748924255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.797294616699219 × 2 - 1) × π
    0.594589233398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.86795717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748924255371094 × 2 - 1) × π
    -0.497848510742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.56403722390357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86795717} λ = 1.86795717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56403722390357))-π/2
    2×atan(0.209289415051316)-π/2
    2×0.206311525308518-π/2
    0.412623050617036-1.57079632675     		φ = -1.15817328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86795717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.026062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15817328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.358441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104503 KachelY 98163 1.86795717 -1.15817328 107.026062 -66.358441
    Oben rechts KachelX + 1 104504 KachelY 98163 1.86800510 -1.15817328 107.028808 -66.358441
    Unten links KachelX 104503 KachelY + 1 98164 1.86795717 -1.15819250 107.026062 -66.359542
    Unten rechts KachelX + 1 104504 KachelY + 1 98164 1.86800510 -1.15819250 107.028808 -66.359542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15817328--1.15819250) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dl = 122.450619999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15817328--1.15819250) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dr = 122.450619999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86795717-1.86800510) × cos(-1.15817328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401013604770677 × 6371000     		do = 122.454328410467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86795717-1.86800510) × cos(-1.15819250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400995997790885 × 6371000     		du = 122.448951907375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15817328)-sin(-1.15819250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401013604770677-0.400995997790885)×R²
    abs(1.86800510-1.86795717)×1.76069797919176e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76069797919176e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76069797919176e-05×40589641000000     		ar = 14994.2792579031m²