Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10449 / 6266
↖ ↑ ↗
← N 80.988852°
W122.601929°		 ← 95.68 m → N 80.988852°
W122.596435°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
N 80.987992°
W122.601929°		 ← 95.68 m →
9 156 m²		 N 80.987992°
W122.596435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159446716308594 y=0.0956192016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159446716308594 × 216)
    floor (0.159446716308594 × 65536)
    floor (10449.5)     		tx = 10449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0956192016601562 × 216)
    floor (0.0956192016601562 × 65536)
    floor (6266.5)     		ty = 6266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10449 / 6266 ti = "16/10449/6266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10449/6266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10449 ÷ 216
    10449 ÷ 65536     		x = 0.159439086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6266 ÷ 216
    6266 ÷ 65536     		y = 0.095611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159439086914062 × 2 - 1) × π
    -0.681121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13980733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095611572265625 × 2 - 1) × π
    0.80877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54084742746146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13980733} λ = -2.13980733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54084742746146))-π/2
    2×atan(12.6904206263501)-π/2
    2×1.49215922605709-π/2
    2.98431845211418-1.57079632675     		φ = 1.41352213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13980733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.601929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41352213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.988852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10449 KachelY 6266 -2.13980733 1.41352213 -122.601929 80.988852
    Oben rechts KachelX + 1 10450 KachelY 6266 -2.13971145 1.41352213 -122.596435 80.988852
    Unten links KachelX 10449 KachelY + 1 6267 -2.13980733 1.41350711 -122.601929 80.987992
    Unten rechts KachelX + 1 10450 KachelY + 1 6267 -2.13971145 1.41350711 -122.596435 80.987992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41352213-1.41350711) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41352213-1.41350711) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13980733--2.13971145) × cos(1.41352213) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156626630786375 × 6371000     		do = 95.6756092232083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13980733--2.13971145) × cos(1.41350711) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156641465390146 × 6371000     		du = 95.6846709628765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41352213)-sin(1.41350711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156626630786375-0.156641465390146)×R²
    abs(-2.13971145--2.13980733)×1.48346037701086e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48346037701086e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48346037701086e-05×40589641000000     		ar = 9155.8641515551m²